Nilai limit x -> 0 (akar(4x))/(akar(sin 2x)) adalah....

√2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan nilai limit $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}$, kita bisa menyederhanakan ekspresi tersebut. 
Pertama, kita dapat menulis ulang $\sqrt{4x}$ sebagai $2\sqrt{x}$.
Jadi, limitnya menjadi $\lim_{x\to 0} \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\sin 2x}}$.
Kita tahu bahwa $\lim_{x\to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1$. Untuk menggunakan sifat ini, kita dapat memanipulasi ekspresi:
$\lim_{x\to 0} \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\sin 2x}} = \lim_{x\to 0} \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{2x \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}} = \lim_{x\to 0} \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{2x} \sqrt{\frac{\sin 2x}{2x}}}$
$= \lim_{x\to 0} \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{2}\sqrt{x} \sqrt{\frac{\sin 2x}{2x}}} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sin 2x}{2x}}}$
Karena $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$, maka limitnya menjadi:
$\frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
Namun, perlu diperhatikan bahwa $\sqrt{x}$ hanya terdefinisi untuk $x \ge 0$. Jika kita mendekati 0 dari sisi positif ($x \to 0^+$), maka $\sqrt{x}$ terdefinisi. 
Jika kita melihat lebih teliti pada ekspresi awal $\frac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}$, agar $\sin 2x$ positif (agar akarnya terdefinisi di bilangan real), maka $2x$ harus berada dalam interval $(0, \pi)$, atau $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Jadi, kita hanya bisa mendekati 0 dari sisi positif. 
Dengan demikian, nilai limitnya adalah $\sqrt{2}$.