Nilai limit x mendekati tak hingga

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu memanipulasi ekspresi agar bentuk tak tentu \(\infty - \infty\) dapat diatasi. Kalikan dengan konjugatnya:
\(\lim_{x \to \infty} \sqrt{(2x-5)(2x+1)} + (5-2x)\)
\(= \lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2 + 2x - 10x - 5} + (5-2x)\)
\(= \lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2 - 8x - 5} - (2x-5)\)
Kalikan dengan konjugat \(\sqrt{4x^2 - 8x - 5} + (2x-5)\):
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 8x - 5} - (2x-5))(\sqrt{4x^2 - 8x - 5} + (2x-5))}{(\sqrt{4x^2 - 8x - 5} + (2x-5))}\)
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 - 8x - 5) - (2x-5)^2}{(\sqrt{4x^2 - 8x - 5} + (2x-5))}\)
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 8x - 5 - (4x^2 - 20x + 25)}{(\sqrt{4x^2 - 8x - 5} + (2x-5))}\)
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 8x - 5 - 4x^2 + 20x - 25}{(\sqrt{4x^2 - 8x - 5} + (2x-5))}\)
\(= \lim_{x \to \infty} \frac{12x - 30}{(\sqrt{4x^2 - 8x - 5} + (2x-5))}\)
Bagi pembilang dan penyebut dengan x (atau \(\sqrt{x^2}\) untuk penyebut):\n\(= \lim_{x \to \infty} \frac{12 - \frac{30}{x}}{(\sqrt{4 - \frac{8}{x} - \frac{5}{x^2}} + (2-\frac{5}{x}))}\)
Ketika x mendekati tak hingga, suku \(\frac{c}{x}\) mendekati 0:
\(= \frac{12 - 0}{(\sqrt{4 - 0 - 0} + (2-0))} = \frac{12}{(\sqrt{4} + 2)} = \frac{12}{(2 + 2)} = \frac{12}{4} = 3\)
Jadi, nilai limit x mendekati tak hingga (akar((2x-5)(2x+1))+(5-2x)) adalah 3.