Nilai limit x mendekati tak hingga (1+2+...+x)/(1/2

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menganalisis perilaku suku-suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut ketika x mendekati tak hingga.

Pembilang: 1 + 2 + ... + x adalah jumlah deret aritmatika yang dapat dinyatakan sebagai x(x+1)/2 = (x^2 + x)/2.

Penyebut: 1/2 x^2 + 1.

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->∞) [(x^2 + x)/2] / [1/2 x^2 + 1]

Untuk menyelesaikannya, kita bagi pembilang dan penyebut dengan suku berpangkat tertinggi di penyebut, yaitu x^2:

lim (x->∞) [(x^2/x^2 + x/x^2) / (2 * (1/2 x^2/x^2 + 1/x^2))]
lim (x->∞) [(1 + 1/x) / (2 * (1/2 + 1/x^2))]

Ketika x mendekati tak hingga, suku-suku seperti 1/x dan 1/x^2 mendekati 0.

Jadi, limitnya adalah:
(1 + 0) / (2 * (1/2 + 0))
= 1 / (2 * 1/2)
= 1 / 1
= 1

Nilai limitnya adalah 1.