Nilai limit x mendekati tak hingga (1-cos(6/x))/(1-cos^2

1/2

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit $\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \cos(6/x)}{1 - \cos^2(6/x)}$, kita bisa menggunakan substitusi. Misalkan $y = 6/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$.

Limit tersebut menjadi:
$\lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos(y)}{1 - \cos^2(y)}$

Menggunakan identitas trigonometri $1 - \cos^2(y) = \sin^2(y)$, limitnya menjadi:
$\lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos(y)}{\sin^2(y)}$

Kita juga bisa menggunakan identitas $\sin^2(y) = 1 - \cos^2(y) = (1 - \cos(y))(1 + \cos(y))$.
Sehingga limitnya menjadi:
$\lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos(y)}{(1 - \cos(y))(1 + \cos(y))}$

Kita bisa membatalkan $(1 - \cos(y))$ dari pembilang dan penyebut (karena $y \to 0$, $1 - \cos(y) \neq 0$):
$\lim_{y \to 0} \frac{1}{1 + \cos(y)}$

Sekarang substitusikan $y = 0$:
$\frac{1}{1 + \cos(0)} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.