Nilai limit x mendekati tak hingga (sin 2/x)/(3/x)=...

Nilai limitnya adalah 2/3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit x mendekati tak hingga dari (sin 2/x) / (3/x), kita dapat menggunakan substitusi atau sifat limit.

Misalkan y = 1/x. Ketika x mendekati tak hingga (x → ∞), maka y akan mendekati nol (y → 0).

Substitusikan y ke dalam ekspresi limit:

lim (x→∞) [sin(2/x) / (3/x)]
= lim (y→0) [sin(2y) / (3y)]

Kita tahu bahwa salah satu sifat limit trigonometri adalah:
lim (θ→0) [sin(θ) / θ] = 1

Untuk menggunakan sifat ini, kita perlu menyesuaikan ekspresi agar sesuai dengan bentuk tersebut. Kita bisa memanipulasi ekspresi menjadi:

lim (y→0) [sin(2y) / (3y)]
= lim (y→0) [ (sin(2y) / 2y) * (2y / 3y) ]

Kita pisahkan menjadi dua limit:
= lim (y→0) [sin(2y) / 2y] * lim (y→0) [2y / 3y]

Untuk limit pertama, jika kita misalkan θ = 2y, maka ketika y → 0, θ → 0. Jadi:
lim (y→0) [sin(2y) / 2y] = lim (θ→0) [sin(θ) / θ] = 1

Untuk limit kedua, kita bisa membatalkan y:
lim (y→0) [2y / 3y] = lim (y→0) [2 / 3] = 2/3

Sekarang, kalikan hasil kedua limit tersebut:

Hasil = 1 * (2/3)
Hasil = 2/3

Jadi, nilai limit x mendekati tak hingga dari (sin 2/x) / (3/x) adalah 2/3.