Nilai limit x->pi/4 (cos 3x.sin(12x-3pi))/(tan(4x-pi)= ...

-3√2/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu menerapkan aturan L'Hopital karena substitusi langsung x = pi/4 akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Langkah 1: Tentukan turunan dari pembilang dan penyebut.
Pembilang: cos(3x) * sin(12x - 3pi)
Turunan pembilang menggunakan aturan perkalian:
(d/dx cos(3x)) * sin(12x - 3pi) + cos(3x) * (d/dx sin(12x - 3pi))
= (-3sin(3x)) * sin(12x - 3pi) + cos(3x) * (12cos(12x - 3pi))
= -3sin(3x)sin(12x - 3pi) + 12cos(3x)cos(12x - 3pi)

Penyebut: tan(4x - pi)
Turunan penyebut:
(d/dx tan(4x - pi)) = sec^2(4x - pi) * 4 = 4sec^2(4x - pi)

Langkah 2: Terapkan aturan L'Hopital dengan membagi turunan pembilang dengan turunan penyebut.
Limit = lim x->pi/4 [(-3sin(3x)sin(12x - 3pi) + 12cos(3x)cos(12x - 3pi))) / (4sec^2(4x - pi))]

Langkah 3: Substitusikan x = pi/4 ke dalam ekspresi turunan.
Pada x = pi/4:
3x = 3pi/4
12x - 3pi = 12(pi/4) - 3pi = 3pi - 3pi = 0
4x - pi = 4(pi/4) - pi = pi - pi = 0

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam turunan:
Pembilang:
-3sin(3pi/4)sin(0) + 12cos(3pi/4)cos(0)
= -3(-sqrt(2)/2)(0) + 12(-sqrt(2)/2)(1)
= 0 - 6sqrt(2)
= -6sqrt(2)

Penyebut:
4sec^2(0)
= 4(1/cos(0))^2
= 4(1/1)^2
= 4

Langkah 4: Hitung nilai limit.
Limit = (-6sqrt(2)) / 4 = -3sqrt(2)/2

Jadi, nilai limitnya adalah -3√2/2.