Nilai m yang memenuhi agar kurva y=m^2 + 1 dan lingkaran

-1 < m < 1

Pembahasan

Agar kurva y = m^2 + 1 dan lingkaran x^2 + y^2 = 4 berpotongan di dua titik yang berbeda, kita perlu mencari nilai 'm' yang memenuhi kondisi tersebut. Untuk menemukan titik potong, kita substitusikan persamaan kurva ke dalam persamaan lingkaran.

Persamaan kurva: y = m^2 + 1
Persamaan lingkaran: x^2 + y^2 = 4

Substitusikan y dari persamaan kurva ke persamaan lingkaran:
x^2 + (m^2 + 1)^2 = 4

Karena kita mencari perpotongan antara kurva parabola (y = m^2 + 1, di mana m adalah parameter yang mempengaruhi nilai y) dan lingkaran, mari kita klarifikasi interpretasi soal. Jika soal ini dimaksudkan untuk mencari nilai 'm' agar parabola y = x^2 + m (atau bentuk serupa) berpotongan dengan lingkaran x^2 + y^2 = 4, maka penyelesaiannya akan berbeda.

Namun, jika kita mengikuti teks persisnya, 'y = m^2 + 1' mendefinisikan sebuah garis horizontal (atau konstanta y) untuk setiap nilai m yang dipilih. Jika m adalah variabel bebas, maka ini adalah parabola terbuka ke atas dengan verteks di (0, 1). Jika m adalah konstanta, maka ini adalah garis horizontal.

Asumsikan y = m^2 + 1 adalah sebuah kurva yang nilainya konstan (garis horizontal) untuk sebuah nilai 'm' tertentu yang kita cari.
Substitusikan y = m^2 + 1 ke dalam x^2 + y^2 = 4:
x^2 + (m^2 + 1)^2 = 4
x^2 = 4 - (m^2 + 1)^2

Agar ada dua titik potong yang berbeda, persamaan kuadrat dalam x ini harus memiliki dua solusi real yang berbeda. Ini berarti:
1. Nilai di bawah akar harus positif: 4 - (m^2 + 1)^2 > 0

Mari kita selesaikan ketidaksamaan ini:
4 > (m^2 + 1)^2

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
√4 > |m^2 + 1|
2 > |m^2 + 1|

Karena m^2 selalu non-negatif (≥ 0), maka m^2 + 1 selalu positif (≥ 1). Jadi, |m^2 + 1| = m^2 + 1.

2 > m^2 + 1
2 - 1 > m^2
1 > m^2

m^2 < 1

Ini berarti -1 < m < 1.

Jadi, nilai m yang memenuhi agar kurva y = m^2 + 1 dan lingkaran x^2 + y^2 = 4 berpotongan di dua titik yang berbeda adalah nilai m yang berada di antara -1 dan 1 (tidak termasuk -1 dan 1).