Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 10 cm. Jika titik P

Jaraknya adalah 4√5 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara titik E dan garis PH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm, kita perlu menggunakan konsep jarak titik ke garis dalam ruang tiga dimensi.

Diketahui:
Kubus ABCD.EFGH
Panjang rusuk (s) = 10 cm
P adalah titik tengah rusuk AD.

Koordinat Titik (dengan asumsi A=(0,0,0)):
A = (0, 0, 0)
B = (10, 0, 0)
C = (10, 10, 0)
D = (0, 10, 0)
E = (0, 0, 10)
F = (10, 0, 10)
G = (10, 10, 10)
H = (0, 10, 10)

Karena P adalah titik tengah rusuk AD:
P = ((0+0)/2, (0+10)/2, (0+0)/2) = (0, 5, 0)

Kita ingin mencari jarak dari titik E(0, 0, 10) ke garis PH.

Langkah 1: Tentukan vektor yang mewakili garis PH.
Vektor PH = H - P = (0 - 0, 10 - 5, 10 - 0) = (0, 5, 10)

Langkah 2: Tentukan vektor dari titik E ke titik P (atau H).
Kita gunakan vektor EP = P - E = (0 - 0, 5 - 0, 0 - 10) = (0, 5, -10)

Langkah 3: Gunakan rumus jarak titik ke garis dalam ruang.
Jarak = ||EP × PH|| / ||PH||

Hitung hasil perkalian silang (EP × PH):
EP × PH =  | i   j   k |
            | 0   5  -10 |
            | 0   5   10 |

EP × PH = i((5)(10) - (-10)(5)) - j((0)(10) - (-10)(0)) + k((0)(5) - (5)(0))
EP × PH = i(50 - (-50)) - j(0 - 0) + k(0 - 0)
EP × PH = i(100) - j(0) + k(0)
EP × PH = (100, 0, 0)

Hitung magnitudo dari hasil perkalian silang:
||EP × PH|| = √(100² + 0² + 0²) = √10000 = 100

Hitung magnitudo dari vektor PH:
||PH|| = √(0² + 5² + 10²) = √(0 + 25 + 100) = √125
√125 = √(25 × 5) = 5√5

Langkah 4: Hitung jaraknya.
Jarak = ||EP × PH|| / ||PH||
Jarak = 100 / (5√5)
Jarak = 20 / √5

Untuk merasionalkan penyebut:
Jarak = (20 / √5) × (√5 / √5)
Jarak = (20√5) / 5
Jarak = 4√5 cm

Jadi, jarak antara titik E dengan garis PH adalah 4√5 cm.