Nilai minimum dari fungsi y=x^3-3x^2-45x+50 adalah ....

-125

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi $y = x^3 - 3x^2 - 45x + 50$, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol untuk menemukan titik stasioner. Kemudian, kita gunakan turunan kedua untuk menentukan apakah titik tersebut merupakan titik minimum atau maksimum.

1. Cari turunan pertama ($y'$):
$y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 45x + 50) = 3x^2 - 6x - 45$

2. Samakan turunan pertama dengan nol untuk mencari titik stasioner:
$3x^2 - 6x - 45 = 0$
Bagi kedua sisi dengan 3:
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat:
$(x-5)(x+3) = 0$
Jadi, nilai x stasioner adalah $x=5$ dan $x=-3$.

3. Cari turunan kedua ($y''$):
$y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x - 45) = 6x - 6$

4. Uji titik stasioner menggunakan turunan kedua:
Untuk $x=5$: $y'' = 6(5) - 6 = 30 - 6 = 24$. Karena $y'' > 0$, maka di $x=5$ terdapat nilai minimum.
Untuk $x=-3$: $y'' = 6(-3) - 6 = -18 - 6 = -24$. Karena $y'' < 0$, maka di $x=-3$ terdapat nilai maksimum.

5. Hitung nilai minimum dengan mensubstitusikan $x=5$ ke fungsi awal:
$y = (5)^3 - 3(5)^2 - 45(5) + 50$
$y = 125 - 3(25) - 225 + 50$
$y = 125 - 75 - 225 + 50$
$y = 50 - 225 + 50$
$y = -175 + 50$
$y = -125$

Jadi, nilai minimum dari fungsi tersebut adalah -125.