Nilai maksimum dari fungsi P=5.000x+6000y pada himpunan

Nilai maksimum fungsi P=5.000x+6000y pada sistem pertidaksamaan yang diberikan adalah 188.000, yang dicapai pada titik (16, 18).

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan P=5.000x+6000y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan, kita perlu menentukan titik-titik sudut (titik pojok) dari daerah penyelesaian tersebut dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi tujuan.

Sistem pertidaksamaan:
x >= 0
y >= 0
2x + y <= 50
3x + 4y <= 120

Langkah 1: Tentukan titik-titik potong dari garis-garis batas.

Garis 1: x = 0
Garis 2: y = 0
Garis 3: 2x + y = 50
Garis 4: 3x + 4y = 120

Titik potong sumbu x (y=0) dari Garis 3: 2x + 0 = 50 => x = 25. Titik (25, 0)
Titik potong sumbu y (x=0) dari Garis 3: 2(0) + y = 50 => y = 50. Titik (0, 50)

Titik potong sumbu x (y=0) dari Garis 4: 3x + 4(0) = 120 => 3x = 120 => x = 40. Titik (40, 0)
Titik potong sumbu y (x=0) dari Garis 4: 3(0) + 4y = 120 => 4y = 120 => y = 30. Titik (0, 30)

Titik potong antara Garis 3 (2x + y = 50) dan Garis 4 (3x + 4y = 120):
Dari Garis 3, kita dapatkan y = 50 - 2x. Substitusikan ke Garis 4:
3x + 4(50 - 2x) = 120
3x + 200 - 8x = 120
-5x = 120 - 200
-5x = -80
x = 16

Sekarang cari y:
y = 50 - 2x = 50 - 2(16) = 50 - 32 = 18. Titik potongnya adalah (16, 18).

Titik sudut daerah penyelesaian yang memenuhi x>=0 dan y>=0:
1. Titik potong Garis 2 (y=0) dan Garis 3 (2x+y=50): (25, 0)
2. Titik potong Garis 2 (y=0) dan Garis 4 (3x+4y=120): (40, 0). Namun, kita harus cek apakah titik ini memenuhi 2x+y <= 50. 2(40)+0 = 80, yang lebih besar dari 50. Jadi, titik (40,0) bukan bagian dari daerah penyelesaian. Titik sudut yang relevan di sumbu x adalah titik potong antara 2x+y=50 dan 3x+4y=120 dengan sumbu x.
Mari kita periksa kembali titik sudut.

Titik sudut yang memenuhi adalah perpotongan dari:
- x=0 dan y=0: (0,0)
- x=0 dan 3x+4y=120: (0,30) (Periksa 2x+y<=50: 2(0)+30=30 <= 50. Ya)
- y=0 dan 2x+y=50: (25,0) (Periksa 3x+4y<=120: 3(25)+4(0)=75 <= 120. Ya)
- 2x+y=50 dan 3x+4y=120: (16,18) (Periksa x>=0, y>=0. Ya)

Titik-titik sudut yang valid adalah (0,0), (0,30), (25,0), dan (16,18).

Langkah 2: Substitusikan titik-titik sudut ke dalam fungsi tujuan P = 5.000x + 6000y.
- Di titik (0,0): P = 5.000(0) + 6000(0) = 0
- Di titik (0,30): P = 5.000(0) + 6000(30) = 180.000
- Di titik (25,0): P = 5.000(25) + 6000(0) = 125.000
- Di titik (16,18): P = 5.000(16) + 6000(18) = 80.000 + 108.000 = 188.000

Nilai maksimum dari P adalah 188.000.