Nilai minimum untuk 2x+5y dengan syarat: x>=0, y>=0,

24

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi tujuan $f(x,y) = 2x + 5y$ dengan syarat-syarat yang diberikan, kita perlu menggunakan metode program linear, yaitu metode grafik atau metode sudut.

Syarat-syarat yang diberikan adalah:
1.  $x \ge 0$
2.  $y \ge 0$
3.  $x + y \ge 12$
4.  $x + 2y \ge 16$

Langkah 1: Gambarkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear tersebut.

Langkah 2: Tentukan titik-titik sudut (titik pojok) dari daerah penyelesaian.
Titik-titik sudut didapat dari perpotongan garis-garis batas.

   *   Perpotongan garis $x=0$ dan $y=0$ adalah (0,0). Namun, titik ini tidak memenuhi syarat $x+y \ge 12$ dan $x+2y \ge 16$.
   *   Perpotongan garis $x=0$ dan $x+2y=16$: Substitusi $x=0$ ke $x+2y=16$ menghasilkan $0+2y=16$, sehingga $y=8$. Titik potongnya adalah (0,8).
   *   Perpotongan garis $y=0$ dan $x+y=12$: Substitusi $y=0$ ke $x+y=12$ menghasilkan $x+0=12$, sehingga $x=12$. Titik potongnya adalah (12,0).
   *   Perpotongan garis $x+y=12$ dan $x+2y=16$:
      Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
      $(x+2y) - (x+y) = 16 - 12$
      $y = 4$
      Substitusikan $y=4$ ke $x+y=12$: $x+4=12$, sehingga $x=8$. Titik potongnya adalah (8,4).

   Jadi, titik-titik sudut yang memenuhi adalah (0,8), (12,0), dan (8,4).

Langkah 3: Substitusikan koordinat titik-titik sudut ke dalam fungsi tujuan $f(x,y) = 2x + 5y$.

   *   Untuk titik (0,8):
      $f(0,8) = 2(0) + 5(8) = 0 + 40 = 40$
   *   Untuk titik (12,0):
      $f(12,0) = 2(12) + 5(0) = 24 + 0 = 24$
   *   Untuk titik (8,4):
      $f(8,4) = 2(8) + 5(4) = 16 + 20 = 36$

Langkah 4: Tentukan nilai minimum dari hasil substitusi.
Nilai minimum dari $f(x,y)$ adalah 24, yang terjadi pada titik (12,0).

Jadi, nilai minimum untuk $2x+5y$ dengan syarat yang diberikan adalah 24.