Nilai ulangan matematika disajikan pada tabel berikut. Jika

a) x=7, y=1. b) 88.5. c) 4 siswa

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep median dan persentil dari data berkelompok.

(a) Menentukan x dan y:
Median adalah nilai tengah dari data. Jika median = 73 1/6, kita perlu mencari kelas median terlebih dahulu. Dari tabel, kelas median adalah kelas di mana nilai kumulatifnya mencapai atau melebihi setengah dari total frekuensi (40/2 = 20). Kelas '69-76' adalah kelas median karena frekuensi kumulatifnya adalah 2 + 4 + x = 6 + x. Kita tahu median terletak di kelas ini.
Rumus median data berkelompok: Median = L + ((n/2 - F) / f) * w
Di mana:
L = batas bawah kelas median = 68.5
n = total frekuensi = 40
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median = 2 + 4 + x = 6 + x
f = frekuensi kelas median = 12
w = lebar kelas = 76.5 - 68.5 = 8

73 1/6 = 68.5 + ((20 - (6 + x)) / 12) * 8
73.1667 = 68.5 + ((14 - x) / 12) * 8
73.1667 - 68.5 = (14 - x) * (8/12)
4.6667 = (14 - x) * (2/3)
4.6667 * (3/2) = 14 - x
7.00005 = 14 - x
x = 14 - 7.00005
x ≈ 7

Karena total frekuensi adalah 40, maka 2 + 4 + x + 12 + 8 + 6 + y = 40
32 + x + y = 40
Karena x ≈ 7, maka 32 + 7 + y = 40
39 + y = 40
y = 1

Jadi, x = 7 dan y = 1.

(b) Batas nilai terendah bila hanya 10% yang dianggap lulus:
10% dari 40 siswa adalah 0.10 * 40 = 4 siswa. Ini berarti kita mencari nilai sehingga hanya 4 siswa yang memiliki nilai di atas nilai tersebut. Ini adalah persentil ke-90 (100% - 10% = 90%).
Kita perlu mencari kelas persentil ke-90. Frekuensi kumulatif untuk 90% dari 40 adalah 0.90 * 40 = 36.
Kelas persentil ke-90 adalah kelas di mana frekuensi kumulatifnya mencapai atau melebihi 36. Dari tabel:
2 + 4 + 7 + 12 + 8 = 33
2 + 4 + 7 + 12 + 8 + 6 = 39
Jadi, kelas persentil ke-90 adalah kelas '85-92'.

Rumus persentil data berkelompok: P_k = L + ((kn/100 - F) / f) * w
Di mana:
k = 90
L = batas bawah kelas persentil ke-90 = 84.5
n = total frekuensi = 40
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-90 = 2 + 4 + 7 + 12 + 8 = 33
f = frekuensi kelas persentil ke-90 = 6
w = lebar kelas = 92.5 - 84.5 = 8

P_90 = 84.5 + ((90*40/100 - 33) / 6) * 8
P_90 = 84.5 + ((36 - 33) / 6) * 8
P_90 = 84.5 + (3 / 6) * 8
P_90 = 84.5 + 0.5 * 8
P_90 = 84.5 + 4
P_90 = 88.5

Jadi, batas nilai terendah agar hanya 10% yang dianggap lulus adalah 88.5.

(c) Banyak siswa yang tidak lulus jika batas nilai lulus adalah 57 atau lebih:
Jika batas nilai lulus adalah 57 atau lebih, maka siswa yang tidak lulus adalah mereka yang memiliki nilai kurang dari 57. Kita perlu mencari frekuensi kumulatif dari kelas-kelas dengan nilai di bawah 57.
Kelas '45-52' memiliki nilai di bawah 57. Frekuensi kelas ini adalah 2.
Kelas '53-60' memiliki nilai yang sebagian di bawah 57. Kita perlu mencari proporsi siswa di kelas ini yang nilainya di bawah 57. Batas atas kelas '45-52' adalah 52.5. Batas bawah kelas '53-60' adalah 52.5. Batas atas kelas '53-60' adalah 60.5.
Nilai 57 berada di dalam kelas '53-60'.
Kita asumsikan distribusi merata dalam kelas. Proporsi siswa di kelas '53-60' yang nilainya kurang dari 57 adalah:
(57 - 52.5) / (60.5 - 52.5) = 4.5 / 8 = 0.5625
Jumlah siswa di kelas '53-60' yang nilainya kurang dari 57 adalah 0.5625 * 4 = 2.25

Jadi, jumlah siswa yang tidak lulus adalah frekuensi kelas '45-52' ditambah proporsi siswa di kelas '53-60' yang nilainya kurang dari 57.
Jumlah siswa tidak lulus = 2 + 2.25 = 4.25
Karena jumlah siswa harus bilangan bulat, kita bisa bulatkan menjadi 4 atau 5. Namun, jika kita menginterpretasikan