Nilai x pada interval [0,2 pi] saat grafik dari fungsi

Nilai x saat fungsi mencapai maksimum pada interval [0, 2π] adalah π/6 dan 7π/6.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menemukan nilai x pada interval [0, 2π] di mana fungsi f(x) = 3 cos²x + 6√3 sinx cosx - 3 sin²x mencapai nilai maksimumnya.

Langkah 1: Gunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan fungsi.
Kita dapat menggunakan identitas:
cos(2x) = cos²x - sin²x
sin(2x) = 2sinx cosx

Perhatikan bahwa bagian dari fungsi kita mirip dengan bentuk ini.
Mari kita kelompokkan suku-suku:
f(x) = 3(cos²x - sin²x) + 6√3 sinx cosx

Menggunakan identitas:
cos²x - sin²x = cos(2x)
6√3 sinx cosx = 3√3 (2 sinx cosx) = 3√3 sin(2x)

Jadi, fungsi dapat ditulis ulang sebagai:
f(x) = 3 cos(2x) + 3√3 sin(2x)

Langkah 2: Ubah bentuk a cos(θ) + b sin(θ) menjadi R cos(θ - α).
Dalam kasus ini, a = 3 dan b = 3√3, dan θ = 2x.

R = √(a² + b²) = √(3² + (3√3)²) = √(9 + 27) = √36 = 6.

Untuk mencari α, kita gunakan tan(α) = b/a:
tan(α) = (3√3) / 3 = √3
Karena a (3) positif dan b (3√3) positif, α berada di kuadran pertama. Nilai α yang memenuhi adalah π/3.

Jadi, f(x) dapat ditulis sebagai:
f(x) = 6 cos(2x - π/3)

Langkah 3: Tentukan kondisi untuk nilai maksimum.
Fungsi cosinus memiliki nilai maksimum 1.
Oleh karena itu, nilai maksimum dari f(x) adalah 6 * 1 = 6.

Nilai maksimum tercapai ketika cos(2x - π/3) = 1.

Langkah 4: Selesaikan untuk x dalam interval [0, 2π].
cos(θ) = 1 ketika θ = 2nπ, di mana n adalah bilangan bulat.
Jadi, 2x - π/3 = 2nπ
2x = π/3 + 2nπ
x = π/6 + nπ

Sekarang kita cari nilai x dalam interval [0, 2π]:
Jika n = 0: x = π/6 + 0*π = π/6.
Jika n = 1: x = π/6 + 1*π = π/6 + 6π/6 = 7π/6.
Jika n = 2: x = π/6 + 2*π = π/6 + 12π/6 = 13π/6 (ini di luar interval [0, 2π]).

Jadi, nilai-nilai x di mana fungsi mencapai nilai maksimum adalah π/6 dan 7π/6.

Soal meminta nilai x saat grafik berada pada titik maksimum. Karena ada dua nilai x dalam interval yang diberikan di mana fungsi mencapai nilai maksimumnya, kedua nilai tersebut adalah jawabannya.

Nilai x pada interval [0, 2π] saat grafik dari fungsi f(x)=3 cos²x + 6√3 sinx cosx - 3 sin²x berada pada titik maksimum adalah π/6 dan 7π/6.