Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 10mathAljabar

Nilai x yang memenuhi (2x^2+5x-3)/(4x^2+2x-6)<0 adalah

Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{2x^2+5x-3}{4x^2+2x-6} < 0$!

Solusi

Verified

Nilai $x$ yang memenuhi adalah $-3 < x < -\frac{3}{2}$ atau $\frac{1}{2} < x < 1$.

Pembahasan

Untuk mencari nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{2x^2+5x-3}{4x^2+2x-6} < 0$, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu. Pembilang: $2x^2+5x-3 = 0$ Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini: $(2x-1)(x+3) = 0$ Maka, akar-akarnya adalah $x = \frac{1}{2}$ dan $x = -3$. Penyebut: $4x^2+2x-6 = 0$ Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Pertama, keluarkan faktor 2: $2(2x^2+x-3) = 0$ Sekarang faktorkan $2x^2+x-3 = 0$: $(2x+3)(x-1) = 0$ Maka, akar-akarnya adalah $x = -\frac{3}{2}$ dan $x = 1$. Akar-akar yang kita dapatkan adalah: $-3$, $-\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$, dan $1$. Kita perlu menguji interval yang dibentuk oleh akar-akar ini pada garis bilangan untuk menentukan di mana ekspresi $\frac{2x^2+5x-3}{4x^2+2x-6}$ bernilai negatif. Garis bilangan: ---(-3)---(-3/2)---(1/2)---(1)--- Uji nilai di setiap interval: 1. $x < -3$ (misal $x=-4$): Pembilang: $2(-4)^2+5(-4)-3 = 32 - 20 - 3 = 9 > 0$ Penyebut: $4(-4)^2+2(-4)-6 = 64 - 8 - 6 = 50 > 0$ Hasil bagi: $\frac{+}{+} = + > 0$ 2. $-3 < x < -\frac{3}{2}$ (misal $x=-2$): Pembilang: $2(-2)^2+5(-2)-3 = 8 - 10 - 3 = -5 < 0$ Penyebut: $4(-2)^2+2(-2)-6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0$ Hasil bagi: $\frac{-}{+} = - < 0$ 3. $-\frac{3}{2} < x < \frac{1}{2}$ (misal $x=0$): Pembilang: $2(0)^2+5(0)-3 = -3 < 0$ Penyebut: $4(0)^2+2(0)-6 = -6 < 0$ Hasil bagi: $\frac{-}{-} = + > 0$ 4. $\frac{1}{2} < x < 1$ (misal $x=0.75$): Pembilang: $2(0.75)^2+5(0.75)-3 = 2(0.5625) + 3.75 - 3 = 1.125 + 3.75 - 3 = 1.875 > 0$ Penyebut: $4(0.75)^2+2(0.75)-6 = 4(0.5625) + 1.5 - 6 = 2.25 + 1.5 - 6 = -2.25 < 0$ Hasil bagi: $\frac{+}{-} = - < 0$ 5. $x > 1$ (misal $x=2$): Pembilang: $2(2)^2+5(2)-3 = 8 + 10 - 3 = 15 > 0$ Penyebut: $4(2)^2+2(2)-6 = 16 + 4 - 6 = 14 > 0$ Hasil bagi: $\frac{+}{+} = + > 0$ Pertidaksamaan $\frac{2x^2+5x-3}{4x^2+2x-6} < 0$ terpenuhi ketika hasilnya negatif. Dari pengujian di atas, ini terjadi pada interval $-3 < x < -\frac{3}{2}$ dan $\frac{1}{2} < x < 1$. Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $-3 < x < -\frac{3}{2}$ atau $\frac{1}{2} < x < 1$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Pertidaksamaan Rasional
Section: Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional

Apakah jawaban ini membantu?