Perhatikan SPLTV berikut. 2x+5y+3z=12 ...(1) 4x+10y-3z=15

6.29

Pembahasan

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) tersebut, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Diberikan persamaan:
1) 2x + 5y + 3z = 12
2) 4x + 10y - 3z = 15
3) 6x - 5y + 32 = 14

Langkah 1: Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2).
Jumlahkan persamaan (1) dan (2):
(2x + 5y + 3z) + (4x + 10y - 3z) = 12 + 15
6x + 15y = 27
Bagi dengan 3: 2x + 5y = 9 ...(4)

Langkah 2: Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (3).
Kalikan persamaan (1) dengan 32 dan persamaan (3) dengan 3 untuk menyamakan koefisien z:
32*(2x + 5y + 3z) = 32*12  => 64x + 160y + 96z = 384
3*(6x - 5y + 3z) = 3*14     => 18x - 15y + 9z = 42

Terjadi kesalahan pengetikan pada persamaan (3), seharusnya koefisien z adalah 3z, bukan 32. Asumsikan persamaan (3) adalah 6x - 5y + 3z = 14.

Mari kita ulangi langkah eliminasi z dengan asumsi persamaan (3) adalah 6x - 5y + 3z = 14.

Langkah 1: Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2).
Jumlahkan persamaan (1) dan (2):
(2x + 5y + 3z) + (4x + 10y - 3z) = 12 + 15
6x + 15y = 27
Bagi dengan 3: 2x + 5y = 9 ...(4)

Langkah 2: Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (3).
Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (1) karena koefisien z sudah sama:
(2x + 5y + 3z) - (6x - 5y + 3z) = 12 - 14
2x + 5y + 3z - 6x + 5y - 3z = -2
-4x + 10y = -2
Bagi dengan -2: 2x - 5y = 1 ...(5)

Langkah 3: Selesaikan SPLDV dari persamaan (4) dan (5).
(4) 2x + 5y = 9
(5) 2x - 5y = 1

Jumlahkan persamaan (4) dan (5):
(2x + 5y) + (2x - 5y) = 9 + 1
4x = 10
x = 10/4 = 5/2

Substitusikan nilai x ke persamaan (4):
2(5/2) + 5y = 9
5 + 5y = 9
5y = 4
y = 4/5

Langkah 4: Substitusikan nilai x dan y ke salah satu persamaan awal (misal persamaan 1) untuk mencari nilai z.
2x + 5y + 3z = 12
2(5/2) + 5(4/5) + 3z = 12
5 + 4 + 3z = 12
9 + 3z = 12
3z = 3
z = 1

Langkah 5: Hitung nilai x² + (y-z)².
x = 5/2, y = 4/5, z = 1

x² = (5/2)² = 25/4
(y-z) = (4/5) - 1 = 4/5 - 5/5 = -1/5
(y-z)² = (-1/5)² = 1/25

x² + (y-z)² = 25/4 + 1/25
Samakan penyebutnya (100):
= (25*25)/100 + (1*4)/100
= 625/100 + 4/100
= 629/100
= 6.29