Nilai x yang memenuhi persamaan akar(x^2+4x-12)=akar(3x+8)

Nilai x yang memenuhi adalah 4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sqrt{x^2+4x-12} = \sqrt{3x+8}$, kita perlu mengkuadratkan kedua sisi persamaan untuk menghilangkan akar kuadrat, lalu menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan. Penting juga untuk memeriksa apakah solusi yang ditemukan memenuhi domain dari akar kuadrat tersebut (yaitu, ekspresi di dalam akar harus non-negatif).

Langkah 1: Kuadratkan kedua sisi persamaan.
$(\sqrt{x^2+4x-12})^2 = (\sqrt{3x+8})^2$
$x^2+4x-12 = 3x+8$

Langkah 2: Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat.
$x^2+4x-12 - 3x - 8 = 0$
$x^2 + (4x-3x) + (-12-8) = 0$
$x^2 + x - 20 = 0$

Langkah 3: Faktorkan persamaan kuadrat atau gunakan rumus kuadratik untuk mencari nilai x.
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -20 dan jika dijumlahkan menghasilkan 1. Bilangan tersebut adalah 5 dan -4.
$(x+5)(x-4) = 0$

Maka, solusi sementara adalah:
$x+5 = 0 \Rightarrow x = -5$
$x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Langkah 4: Periksa kedua solusi terhadap domain persamaan awal.
Domain dari $\sqrt{x^2+4x-12}$ adalah $x^2+4x-12 \ge 0$. Faktorkan: $(x+6)(x-2) \ge 0$. Ini terpenuhi jika $x \le -6$ atau $x \ge 2$.
Domain dari $\sqrt{3x+8}$ adalah $3x+8 \ge 0$. Ini terpenuhi jika $3x \ge -8$, atau $x \ge -8/3$ (yaitu, $x \ge -2.66...$).

Agar kedua akar terdefinisi, kita perlu memenuhi kedua kondisi domain:
Kondisi 1: $x \le -6$ atau $x \ge 2$
Kondisi 2: $x \ge -8/3$

Irisan dari kedua kondisi ini adalah $x \ge 2$.

Sekarang, periksa solusi sementara:
Untuk $x = -5$:
Periksa domain: $-5$ tidak memenuhi $x \ge 2$. Jadi, $x = -5$ bukan solusi.
Mari kita cek juga di persamaan awal:
$\sqrt{(-5)^2+4(-5)-12} = \sqrt{25-20-12} = \sqrt{-7}$ (Tidak terdefinisi di bilangan real).

Untuk $x = 4$:
Periksa domain: $4 \ge 2$. Jadi, $x = 4$ memenuhi domain.
Mari kita cek di persamaan awal:
$\sqrt{4^2+4(4)-12} = \sqrt{16+16-12} = \sqrt{20}$
$\sqrt{3(4)+8} = \sqrt{12+8} = \sqrt{20}$
Kedua sisi sama, jadi $x=4$ adalah solusi yang valid.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 4.