Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 1/log x- 1/2log x-1

x > √10 atau 0 < x < 1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma $\frac{1}{\log x} - \frac{1}{2\log x - 1} < 1$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Tentukan domain dari logaritma: Agar $\log x$ terdefinisi, maka $x > 0$. Juga, agar penyebut tidak nol, maka $\log x \neq 0$ (artinya $x \neq 1$) dan $2\log x - 1 \neq 0$ (artinya $\log x \neq 1/2$, atau $x \neq \sqrt{10}$). Jadi, domainnya adalah $x \\, > 0, x \neq 1, x \neq \sqrt{10}$.

2. Sederhanakan pertidaksamaan:
$\\frac{1}{\log x} - \frac{1}{2\log x - 1} - 1 < 0$
Cari KPK dari penyebutnya: $(\log x)(2\log x - 1)$.
$\\\frac{(2\log x - 1) - \log x - (\log x)(2\log x - 1)}{(\log x)(2\log x - 1)} < 0$
$\\\frac{2\log x - 1 - \log x - 2(\log x)^2 + \log x}{(\log x)(2\log x - 1)} < 0$
$\\\frac{-\\!2(\\log x)^2 + 2\log x - 1}{(\\log x)(2\log x - 1)} < 0$
Kalikan dengan -1 dan balikkan tanda pertidaksamaan:
$\\\frac{2(\\log x)^2 - 2\log x + 1}{(\\log x)(2\log x - 1)} > 0$

3. Analisis tanda setiap faktor:
   - Pembilang: $2(\\log x)^2 - 2\log x + 1$. Ini adalah fungsi kuadrat dalam $\\log x$. Diskriminannya adalah $D = (-2)^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4$. Karena diskriminan negatif dan koefisien $(\\log x)^2$ positif (yaitu 2), maka pembilang selalu positif untuk semua nilai $\\log x$.

   - Penyebut: $(\\log x)(2\log x - 1)$. Agar seluruh pecahan lebih besar dari 0 (dan karena pembilang selalu positif), penyebut harus positif.
     $(\\log x)(2\log x - 1) > 0$
     Ini terjadi ketika kedua faktor memiliki tanda yang sama:
     Kasus 1: $\\log x > 0$ DAN $2\log x - 1 > 0$
              $\log x > 0 	 	 	 	 2\log x > 1$
              $x > 1 	 	 	 	 	 \log x > 1/2$
              $x > 1 	 	 	 	 	 x > 10^{1/2}$
              $x > \sqrt{10}$

     Kasus 2: $\\log x < 0$ DAN $2\log x - 1 < 0$
              $\log x < 0 	 	 	 	 2\log x < 1$
              $0 < x < 1 	 	 	 	 	 \log x < 1/2$
              $0 < x < 1 	 	 	 	 	 x < \sqrt{10}$
              $0 < x < 1$

4. Gabungkan hasil dari domain dan analisis tanda:
Dari domain, kita tahu $x > 0, x \neq 1, x \neq \sqrt{10}$.
Dari analisis tanda, kita mendapatkan $x > \sqrt{10}$ atau $0 < x < 1$.

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x 	 	 > \\sqrt{10}$ atau $0 < x < 1$.