Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3log 6/(x^2-11x+30)>1

4 < x < 5 atau 6 < x < 7

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma 3log(6/(x^2-11x+30)) > 1, kita perlu mengubah bentuk pertidaksamaan agar basis logaritma sama.

3log(6/(x^2-11x+30)) > log_3(3^1)

Karena basis logaritma (3) lebih besar dari 1, maka arah pertidaksamaan tidak berubah:

6/(x^2-11x+30) > 3

Selanjutnya, kita selesaikan pertidaksamaan rasional ini:

6/(x^2-11x+30) - 3 > 0

Samakan penyebutnya:

(6 - 3(x^2-11x+30)) / (x^2-11x+30) > 0

(6 - 3x^2 + 33x - 90) / (x^2-11x+30) > 0

(-3x^2 + 33x - 84) / (x^2-11x+30) > 0

Bagi semua suku dengan -3 (dan balik arah pertidaksamaan):

(x^2 - 11x + 28) / (x^2-11x+30) < 0

Faktorkan pembilang dan penyebut:

(x-4)(x-7) / ((x-5)(x-6)) < 0

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk pembilang dan penyebut:
x = 4, x = 7 (pembilang)
x = 5, x = 6 (penyebut)

Buat garis bilangan dan uji interval:

Interval 1: x < 4. Ambil x=0. (0-4)(0-7) / ((0-5)(0-6)) = (-4)(-7) / ((-5)(-6)) = 28 / 30 > 0 (Tidak memenuhi)
Interval 2: 4 < x < 5. Ambil x=4.5. (4.5-4)(4.5-7) / ((4.5-5)(4.5-6)) = (0.5)(-2.5) / ((-0.5)(-1.5)) = -1.25 / 0.75 < 0 (Memenuhi)
Interval 3: 5 < x < 6. Ambil x=5.5. (5.5-4)(5.5-7) / ((5.5-5)(5.5-6)) = (1.5)(-1.5) / ((0.5)(-0.5)) = -2.25 / -0.25 > 0 (Tidak memenuhi)
Interval 4: 6 < x < 7. Ambil x=6.5. (6.5-4)(6.5-7) / ((6.5-5)(6.5-6)) = (2.5)(-0.5) / ((1.5)(0.5)) = -1.25 / 0.75 < 0 (Memenuhi)
Interval 5: x > 7. Ambil x=8. (8-4)(8-7) / ((8-5)(8-6)) = (4)(1) / ((3)(2)) = 4 / 6 > 0 (Tidak memenuhi)

Selain itu, kita juga harus memastikan bahwa argumen logaritma positif dan penyebut tidak nol.
Argumen logaritma: 6/(x^2-11x+30) > 0. Karena 6 positif, maka x^2-11x+30 harus positif. (x-5)(x-6) > 0, yang berarti x < 5 atau x > 6.
Penyebut tidak nol: x != 5 dan x != 6.

Menggabungkan semua kondisi: (4 < x < 5) atau (6 < x < 7).

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah 4 < x < 5 atau 6 < x < 7.