Nilai x yang persamaannya 2 cos 2x - 4 cos x = 1, untuk 0 <

Tidak ada pilihan yang cocok secara persis. Solusi matematisnya adalah 120 dan 240 derajat.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 2 cos(2x) - 4 cos(x) = 1, untuk rentang 0 < x < 360 derajat.

Kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk cos(2x). Ada tiga identitas umum untuk cos(2x):
cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)
cos(2x) = 2cos²(x) - 1
cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

Karena persamaan melibatkan cos(x), paling mudah menggunakan identitas cos(2x) = 2cos²(x) - 1.

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
2 * (2cos²(x) - 1) - 4 cos(x) = 1
4cos²(x) - 2 - 4 cos(x) = 1

Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam cos(x):
4cos²(x) - 4 cos(x) - 2 - 1 = 0
4cos²(x) - 4 cos(x) - 3 = 0

Misalkan y = cos(x). Persamaan menjadi:
4y² - 4y - 3 = 0

Kita bisa memecahkan persamaan kuadrat ini menggunakan faktorisasi atau rumus kuadrat. Mari kita coba faktorisasi:
Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya (4)(-3) = -12 dan jumlahnya -4. Bilangan tersebut adalah -6 dan 2.

4y² - 6y + 2y - 3 = 0
2y(2y - 3) + 1(2y - 3) = 0
(2y + 1)(2y - 3) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk y:
2y + 1 = 0  =>  2y = -1  =>  y = -1/2
2y - 3 = 0  =>  2y = 3   =>  y = 3/2

Sekarang kita substitusikan kembali cos(x) untuk y:

Kasus 1: cos(x) = -1/2
Dalam rentang 0 < x < 360, nilai cosinus bernilai negatif di kuadran II dan III.
Sudut referensi di mana cos(θ) = 1/2 adalah 60 derajat.
Di kuadran II: x = 180 - 60 = 120 derajat.
Di kuadran III: x = 180 + 60 = 240 derajat.

Kasus 2: cos(x) = 3/2
Nilai kosinus selalu antara -1 dan 1. Karena 3/2 = 1.5, yang berada di luar rentang ini, tidak ada solusi nyata untuk cos(x) = 3/2.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan adalah 120 derajat dan 240 derajat.

Memeriksa pilihan yang diberikan:
A. 60 dan 300
B. 30 dan 330
C. 150 dan 210
D. 120 dan 210
E. 60 dan 240

Pilihan yang paling mendekati adalah D, namun ada kesalahan pada nilai 210. Nilai yang benar adalah 120 dan 240. Jika kita periksa kembali soal dan pilihan, tampaknya ada ketidaksesuaian atau kesalahan ketik pada pilihan jawaban.

Namun, jika kita harus memilih dari pilihan yang ada berdasarkan perhitungan kita, tidak ada yang cocok persis. Mari kita cek kembali perhitungan.

Perhitungan sudah benar. cos(x) = -1/2 memberikan x = 120 dan x = 240. cos(x) = 3/2 tidak ada solusi.

Jika ada kesalahan ketik pada pilihan, dan seharusnya D adalah 120 dan 240, maka itu akan menjadi jawaban yang benar.

Mari kita anggap ada kesalahan ketik pada soal atau pilihan. Jika soal adalah 2 cos(2x) + 4 cos(x) = 1, maka 2(2cos²x - 1) + 4cosx = 1 => 4cos²x + 4cosx - 3 = 0. (2cosx - 1)(2cosx + 3) = 0. cosx = 1/2 (x=60, 300) atau cosx = -3/2 (tidak ada solusi).
Dalam kasus ini, pilihan A (60 dan 300) akan benar.

Mari kita anggap soalnya benar seperti yang tertulis. Maka jawaban yang benar adalah 120 dan 240. Tidak ada pilihan yang cocok persis. Namun, jika kita melihat pilihan D (120 dan 210), nilai 120 benar, tetapi 210 tidak.

Jika kita berasumsi ada kesalahan pada soal dan seharusnya cos(2x) = 1/2, maka 2x = 60, 300, 420, 660. x = 30, 150, 210, 330. Tidak ada pilihan yang cocok.

Mari kita kembali ke persamaan asli: 2 cos(2x) - 4 cos(x) = 1.
Solusi yang benar adalah x = 120 dan x = 240.

Melihat pilihan yang diberikan lagi:
A. 60 dan 300
B. 30 dan 330
C. 150 dan 210
D. 120 dan 210
E. 60 dan 240

Tidak ada pilihan yang tepat. Namun, pilihan E memiliki salah satu nilai yang benar (60) tetapi yang lainnya salah (240 seharusnya). Pilihan D memiliki 120 yang benar tetapi 210 yang salah.

Ada kemungkinan soal ini berasal dari sumber tertentu dan pilihan jawabannya memang seperti itu, meskipun tidak konsisten secara matematis dengan perhitungan standar.

Jika kita harus memilih yang 'paling' benar atau yang memiliki komponen yang benar, maka D memiliki 120 yang benar.

Namun, untuk memberikan jawaban yang akurat berdasarkan soal yang diberikan, solusi yang benar adalah 120 dan 240. Karena tidak ada pilihan yang mencantumkan kedua nilai ini, ada kemungkinan besar kesalahan pada soal atau pilihan jawaban yang disediakan.