Nilai yang memenuhi (X-1) log (3x-7) =(X-1)log (2x-1)

x = 6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \((X-1) \log (3x-7) =(X-1)\log (2x-1)\), kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: Basis logaritma tidak sama dengan 1.
Jika \(X-1 \neq 0\) dan \(X-1 > 0\) (yaitu \(X > 1\)), maka kita dapat menyamakan argumen logaritma:
\(3x - 7 = 2x - 1\)
\(3x - 2x = -1 + 7\)
\(x = 6\)
Karena \(x = 6\) memenuhi \(X > 1\), maka \(x = 6\) adalah solusi yang valid.

Kasus 2: Basis logaritma sama dengan 1.
Jika \(X-1 = 1\), maka \(X = 2\).
Dalam kasus ini, persamaan menjadi \((2-1) \log (3(2)-7) = (2-1) \log (2(2)-1)\) atau \(1 \log (6-7) = 1 \log (4-1)\), yaitu \(\log (-1) = \log (3)\). Logaritma dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real, sehingga \(X = 2\) bukan solusi.

Kasus 3: Argumen logaritma sama dengan 1.
Jika \(3x - 7 = 1\) dan \(2x - 1 = 1\), maka:
Dari \(3x - 7 = 1\), \(3x = 8\), \(x = 8/3\).
Dari \(2x - 1 = 1\), \(2x = 2\), \(x = 1\).
Karena nilai \(x\) yang diperoleh berbeda, maka kasus ini tidak menghasilkan solusi.

Selain itu, kita harus memastikan bahwa argumen logaritma positif:
\(3x - 7 > 0 	 	 2x - 1 > 0\)
\(3x > 7 	 	 2x > 1\)
\(x > 7/3 	 	 x > 1/2\)
Kondisi gabungannya adalah \(x > 7/3\).
Karena \(x = 6\) memenuhi \(x > 7/3\), maka solusi yang valid adalah \(x = 6\).