Notasi sigma yang ekuivalen dengan -sigma k=17 110

Menyederhanakan dan menyamakan batas kedua notasi sigma.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menyederhanakan kedua notasi sigma tersebut dan menggabungkannya menjadi satu notasi sigma yang ekuivalen. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Ubah batas indeks penjumlahan:** Kita perlu membuat batas bawah kedua notasi sigma sama. Mari kita ubah notasi kedua agar batas bawahnya adalah 17.
    Untuk notasi kedua: $\sum_{k=81}^{180} (k^2 + 40k + 390)$, kita lakukan substitusi $j = k - 64$. Maka, ketika $k=81$, $j=17$. Ketika $k=180$, $j=116$. Jadi, $k = j + 64$.
    Substitusi ke dalam notasi: $\sum_{j=17}^{116} ((j+64)^2 + 40(j+64) + 390)$
    $= \sum_{j=17}^{116} (j^2 + 128j + 4096 + 40j + 2560 + 390)$
    $= \sum_{j=17}^{116} (j^2 + 168j + 7046)$
    Karena indeksnya hanya penanda, kita bisa kembalikan ke $k$: $\sum_{k=17}^{116} (k^2 + 168k + 7046)$

2.  **Gabungkan kedua notasi sigma:** Sekarang kita memiliki dua notasi sigma dengan batas bawah yang sama:
    $\sum_{k=17}^{110} (k^2 - 20k + 90) - \sum_{k=17}^{116} (k^2 + 168k + 7046)$

    Untuk menggabungkannya, kita perlu membuat batas atasnya sama. Ini agak rumit karena batas atasnya berbeda. Cara yang lebih mudah adalah dengan memanipulasi ekspresi di dalam sigma dan menyamakan batasnya terlebih dahulu.

    Mari kita coba cara lain dengan menyamakan batas indeksnya ke 17. Kita ubah notasi pertama menjadi:
    $\sum_{k=17}^{110} (k^2 - 20k + 90)$

    Kita ubah notasi kedua dengan substitusi $j = k - 81$, sehingga $k = j + 81$. Batas bawah $k=81$ menjadi $j=0$. Batas atas $k=180$ menjadi $j=99$. $\sum_{j=0}^{99} ((j+81)^2 + 40(j+81) + 390)$
    Ini juga akan menghasilkan rentang indeks yang berbeda.

    **Pendekatan yang lebih umum:** Ubah kedua notasi sigma agar memiliki batas bawah dan atas yang sama. Ini seringkali melibatkan pemecahan atau penyesuaian suku-suku.

    Mari kita ubah notasi pertama sehingga batas bawahnya adalah 1. Lakukan substitusi $i = k - 16$. Maka $k = i + 16$. Ketika $k=17$, $i=1$. Ketika $k=110$, $i=94$.
    $\sum_{i=1}^{94} ((i+16)^2 - 20(i+16) + 90)$
    $= \sum_{i=1}^{94} (i^2 + 32i + 256 - 20i - 320 + 90)$
    $= \sum_{i=1}^{94} (i^2 + 12i + 26)$

    Sekarang ubah notasi kedua sehingga batas bawahnya juga 1. Lakukan substitusi $j = k - 80$. Maka $k = j + 80$. Ketika $k=81$, $j=1$. Ketika $k=180$, $j=100$.
    $\sum_{j=1}^{100} ((j+80)^2 + 40(j+80) + 390)$
    $= \sum_{j=1}^{100} (j^2 + 160j + 6400 + 40j + 3200 + 390)$
    $= \sum_{j=1}^{100} (j^2 + 200j + 9990)$

    Sekarang kita punya:
    $\sum_{i=1}^{94} (i^2 + 12i + 26) - \sum_{j=1}^{100} (j^2 + 200j + 9990)$

    Untuk menggabungkan ini, kita perlu menyesuaikan batasnya agar sama, misalnya dari 1 sampai 94.
    Suku pertama sudah siap: $\sum_{i=1}^{94} (i^2 + 12i + 26)$

    Suku kedua perlu dipecah:
    $\sum_{j=1}^{100} (j^2 + 200j + 9990) = \sum_{j=1}^{94} (j^2 + 200j + 9990) + \sum_{j=95}^{100} (j^2 + 200j + 9990)$

    Maka, ekspresi keseluruhan menjadi:
    $\sum_{i=1}^{94} (i^2 + 12i + 26) - [\sum_{j=1}^{94} (j^2 + 200j + 9990) + \sum_{j=95}^{100} (j^2 + 200j + 9990)]$

    Gabungkan suku pertama dan bagian pertama dari suku kedua:
    $\sum_{i=1}^{94} [(i^2 + 12i + 26) - (i^2 + 200i + 9990)]$
    $= \sum_{i=1}^{94} (i^2 + 12i + 26 - i^2 - 200i - 9990)$
    $= \sum_{i=1}^{94} (-188i - 9964)$

    Sekarang kita punya:
    $\sum_{i=1}^{94} (-188i - 9964) - \sum_{j=95}^{100} (j^2 + 200j + 9990)$

    Ini adalah bentuk yang disederhanakan tetapi belum dalam satu notasi sigma tunggal dari indeks awal. Soal ini sepertinya meminta manipulasi aljabar dari ekspresi sigma itu sendiri, bukan evaluasi nilainya.

    Mari kita coba menyamakan batasnya ke 17 seperti di awal, tapi dengan pendekatan yang berbeda. Tujuannya adalah membuat ekspresi di dalam sigma menjadi sama atau bisa digabungkan.

    Misalkan kita ingin notasi menjadi $\sum_{k=17}^{N} (\text{ekspresi})$.

    Notasi pertama: $\sum_{k=17}^{110} (k^2 - 20k + 90)$

    Notasi kedua: $-\sum_{k=81}^{180} (k^2 + 40k + 390)$
    Misalkan kita ingin batas bawahnya sama, yaitu 81. Ubah notasi pertama: substitusi $j = k - 17$, $k = j + 17$. Ketika $k=17$, $j=0$. Ketika $k=110$, $j=93$.
    $\sum_{j=0}^{93} ((j+17)^2 - 20(j+17) + 90)$
    Ini juga tidak menyederhanakan.

    **Asumsi:** Mungkin ada kesalahan ketik dalam soal atau soal ini menguji pemahaman tentang bagaimana mengubah batas dan suku dalam notasi sigma.

    Jika kita lihat struktur soal, seringkali tujuannya adalah membuat ekspresi di dalam sigma menjadi sama dengan mengubah variabel.

    Misalkan kita ubah notasi kedua agar batasnya dimulai dari 17. $k' = k - 64 
ightarrow k = k' + 64$. Ketika $k=81, k'=17$. Ketika $k=180, k'=116$.
    $-\sum_{k'=17}^{116} ((k'+64)^2 + 40(k'+64) + 390)$
    $-\sum_{k'=17}^{116} (k'^2 + 128k' + 4096 + 40k' + 2560 + 390)$
    $-\sum_{k'=17}^{116} (k'^2 + 168k' + 7046)$

    Sekarang kita punya:
    $\sum_{k=17}^{110} (k^2 - 20k + 90) - \sum_{k=17}^{116} (k^2 + 168k + 7046)$

    Untuk menggabungkannya, kita perlu membuat batas atasnya sama. Pilihan paling umum adalah membuat batas atasnya sama dengan batas atas yang lebih kecil, yaitu 110.

    Suku pertama: $\sum_{k=17}^{110} (k^2 - 20k + 90)$

    Suku kedua: $-\sum_{k=17}^{116} (k^2 + 168k + 7046) = - [\sum_{k=17}^{110} (k^2 + 168k + 7046) + \sum_{k=111}^{116} (k^2 + 168k + 7046)]$

    Maka ekspresi menjadi:
    $\sum_{k=17}^{110} (k^2 - 20k + 90) - \sum_{k=17}^{110} (k^2 + 168k + 7046) - \sum_{k=111}^{116} (k^2 + 168k + 7046)$

    Gabungkan dua suku pertama:
    $\sum_{k=17}^{110} [(k^2 - 20k + 90) - (k^2 + 168k + 7046)] - \sum_{k=111}^{116} (k^2 + 168k + 7046)$
    $= \sum_{k=17}^{110} (k^2 - 20k + 90 - k^2 - 168k - 7046) - \sum_{k=111}^{116} (k^2 + 168k + 7046)$
    $= \sum_{k=17}^{110} (-188k - 6956) - \sum_{k=111}^{116} (k^2 + 168k + 7046)$

    Ini adalah bentuk yang paling bisa disederhanakan dengan kedua notasi sigma terpisah. Jika soal meminta satu notasi sigma tunggal, maka perlu ada manipulasi lebih lanjut yang mungkin tidak langsung terlihat.

    **Kemungkinan Jawaban (berdasarkan format soal pilihan ganda):**
    Soal ini kemungkinan besar meminta kita untuk mengubah ekspresi di dalam sigma agar sama dan kemudian menggabungkan batasnya. Namun, dengan ekspresi yang diberikan, tampaknya tidak ada penggantian variabel sederhana yang membuat kedua ekspresi di dalam sigma menjadi identik.

    Mari kita coba ubah batas notasi kedua ke 17 dengan substitusi $j = k - 64$, sehingga $k = j + 64$. Batas menjadi $j=17$ hingga $j=116$. Ekspresi menjadi $(j+64)^2 + 40(j+64) + 390 = j^2 + 128j + 4096 + 40j + 2560 + 390 = j^2 + 168j + 7046$.
    Jadi, $-\sum_{j=17}^{116} (j^2 + 168j + 7046)$.

    Sekarang kita punya $\sum_{k=17}^{110} (k^2 - 20k + 90) - \sum_{k=17}^{116} (k^2 + 168k + 7046)$.

    Jika kita ingin satu notasi sigma, kita harus menyamakan batasnya. Mari kita coba samakan batas atasnya ke 116.
    Suku pertama: $\sum_{k=17}^{110} (k^2 - 20k + 90) = \sum_{k=17}^{116} (k^2 - 20k + 90) - \sum_{k=111}^{116} (k^2 - 20k + 90)$

    Maka ekspresi menjadi:
    $[
essione_{k=17}^{116} (k^2 - 20k + 90) - \sum_{k=111}^{116} (k^2 - 20k + 90)] - \sum_{k=17}^{116} (k^2 + 168k + 7046)$
    $= \sum_{k=17}^{116} [(k^2 - 20k + 90) - (k^2 + 168k + 7046)] - \sum_{k=111}^{116} (k^2 - 20k + 90)$
    $= \sum_{k=17}^{116} (-188k - 6956) - \sum_{k=111}^{116} (k^2 - 20k + 90)$

    Ini masih menyisakan dua notasi sigma dengan batas yang berbeda. Tanpa pilihan jawaban, sulit untuk menentukan bentuk akhir yang diinginkan. Namun, proses penyederhanaan dan penyesuaian batas adalah kunci utama.

    *Jawaban ini didasarkan pada manipulasi aljabar notasi sigma. Karena tidak ada pilihan jawaban yang diberikan, bentuk akhir mungkin bervariasi tergantung pada konvensi atau instruksi spesifik.*