Nyatakan deret berikut ke dalam bentuk notasi sigma dengan

Σ_{n=1}^{6} 1/(n+1)²

Pembahasan

Deret yang diberikan adalah 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/196.
Kita perlu menyatakan deret ini ke dalam bentuk notasi sigma dengan batas bawah 1 dan batas atas 6.

Langkah pertama adalah mengidentifikasi pola dari setiap suku dalam deret.
Suku pertama: 1/4 = 1/2²
Suku kedua: 1/9 = 1/3²
Suku ketiga: 1/16 = 1/4²

Terlihat bahwa penyebutnya adalah kuadrat dari bilangan asli yang berurutan, dimulai dari 2.
Suku ke-n dari deret ini dapat dinyatakan sebagai 1/(n+1)².

Sekarang kita perlu menentukan batas bawah dan batas atas notasi sigma.
Batas bawah yang diminta adalah 1.
Jika kita menggunakan rumus suku ke-n = 1/(n+1)², maka untuk n=1, suku pertamanya adalah 1/(1+1)² = 1/2² = 1/4. Ini sesuai dengan suku pertama deret.

Selanjutnya, kita perlu menentukan batas atasnya. Suku terakhir dalam deret adalah 1/196.
Kita perlu mencari nilai n sehingga 1/(n+1)² = 1/196.
(n+1)² = 196
n+1 = √196
n+1 = 14
n = 13

Namun, soal meminta batas atas 6. Mari kita periksa kembali suku-sukunya:
1/4 = 1/2²
1/9 = 1/3²
1/16 = 1/4²
... 
1/196 = 1/14²

Jika kita mendefinisikan suku sebagai 1/k², maka deretnya adalah 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/14².
Jika kita ingin menggunakan batas bawah 1, kita perlu mengubah indeksnya.
Misalkan indeks baru adalah i. Kita ingin i dimulai dari 1.
Jika kita gunakan suku 1/(i+1)², maka:
Untuk i=1, suku = 1/(1+1)² = 1/2² = 1/4.
Untuk i=2, suku = 1/(2+1)² = 1/3² = 1/9.
Untuk i=3, suku = 1/(3+1)² = 1/4² = 1/16.

Kita perlu mencari nilai i ketika suku terakhir tercapai, yaitu 1/196.
1/(i+1)² = 1/196
(i+1)² = 196
i+1 = 14
i = 13.

Jadi, deret ini dalam notasi sigma dengan batas bawah 1 adalah Σ [1/(i+1)²] dari i=1 sampai 13.

Soal meminta batas atas 6. Ini berarti kita hanya mengambil 6 suku pertama dari deret tersebut, yang tidak sesuai dengan deret yang diberikan sampai 1/196.

Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam soal dan yang dimaksud adalah mencari notasi sigma untuk deret 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49.

Suku ke-n adalah 1/(n+1)².
Jika batas bawah adalah 1, maka suku pertama (n=1) adalah 1/(1+1)² = 1/4.
Suku kedua (n=2) adalah 1/(2+1)² = 1/9.
Suku ketiga (n=3) adalah 1/(3+1)² = 1/16.
Suku keempat (n=4) adalah 1/(4+1)² = 1/25.
Suku kelima (n=5) adalah 1/(5+1)² = 1/36.
Suku keenam (n=6) adalah 1/(6+1)² = 1/49.

Namun, deret yang diberikan adalah sampai 1/196, yang merupakan suku ke-13 jika polanya 1/(n+1)². 

Jika kita harus menggunakan batas bawah 1 dan batas atas 6, dan mengasumsikan bahwa deret yang diberikan (1/4+1/9+1/16+...+1/196) adalah contoh dari pola suku, dan kita hanya diminta untuk menulis 6 suku pertama dari pola tersebut dalam notasi sigma:

Pola suku adalah 1/(k+1)² dimana k dimulai dari 1.
Untuk batas bawah 1:
Suku ke-1: 1/(1+1)² = 1/4
Suku ke-2: 1/(2+1)² = 1/9
Suku ke-3: 1/(3+1)² = 1/16
Suku ke-4: 1/(4+1)² = 1/25
Suku ke-5: 1/(5+1)² = 1/36
Suku ke-6: 1/(6+1)² = 1/49

Maka notasi sigmanya adalah:
Σ_{i=1}^{6} 1/(i+1)²

Jika kita harus mencocokkan deret sampai 1/196 dengan batas atas 6, maka indeksnya harus diubah lagi.
Misalkan kita pakai indeks j, dengan batas atas 6.
Kita tahu suku terakhir adalah 1/196 = 1/14².
Jika kita gunakan suku 1/(a*j + b)²
Untuk j=6, kita ingin 1/(6a+b)² = 1/196, jadi 6a+b = 14.
Untuk j=1, kita ingin suku pertama 1/4 = 1/2². Jadi 1/(a+b)² = 1/4, sehingga a+b = 2.
Kurangkan persamaan:
(6a+b) - (a+b) = 14 - 2
5a = 12
a = 12/5
Substitusikan a ke a+b=2:
12/5 + b = 2
b = 2 - 12/5 = 10/5 - 12/5 = -2/5

Maka suku umumnya adalah 1/((12/5)j - 2/5)² = 1/((12j-2)/5)² = 25/(12j-2)²

Notasi sigmanya adalah Σ_{j=1}^{6} 25/(12j-2)²

Namun, interpretasi yang paling umum untuk soal semacam ini adalah menggunakan pola suku yang paling jelas dan menyesuaikan indeks agar sesuai dengan batas yang diberikan jika deretnya hanya sebagian.

Dengan pola suku 1/(n+1)², dan batas bawah 1, batas atas 6:
Σ_{i=1}^{6} 1/(i+1)²

Ini menghasilkan: 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49.

Jika kita harus mencakup sampai 1/196, maka batas atas seharusnya 13.

Mengikuti instruksi untuk memberikan jawaban yang paling masuk akal berdasarkan soal:
Deret: 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/196
Pola suku: 1/k², dimana k = 2, 3, 4, ..., 14.

Kita ingin notasi sigma dengan batas bawah 1 dan batas atas 6.
Misalkan suku umum adalah a_n.
Kita perlu mencari fungsi f(n) sehingga suku ke-n adalah a_n = 1/(f(n))².
Jika batas bawah adalah 1, maka n=1 adalah suku pertama.
Suku pertama = 1/4 = 1/2²
Suku kedua = 1/9 = 1/3²
Suku ketiga = 1/16 = 1/4²

Jadi, jika n adalah indeks, maka f(n) = n+1.
Suku ke-n = 1/(n+1)².

Kita ingin batas bawah n=1 dan batas atas n=6.
Ini akan menghasilkan 6 suku pertama dari pola tersebut.
Σ_{n=1}^{6} 1/(n+1)²