O adalah titik pangkal koordinat, titik P(0,3,-3) dan

a. M(0,1,-1), N(2,1,-4) (jika N membagi PQ) atau N(2,-1,-2) (jika N membagi OQ). b. Tergantung interpretasi N. Jika N membagi OQ, MN sejajar PQ karena PQ=3MN. c. 1:3 (jika N membagi OQ).

Pembahasan

Diberikan titik O (0,3,-3) dan Q (6,-3,-6). Titik M membagi OP di dalam dengan perbandingan 1:2, dan titik N membagi PQ di dalam juga dengan perbandingan 1:2.

a. Menentukan koordinat M dan N:
Untuk titik M yang membagi OP dengan perbandingan 1:2:
Koordinat M = [(m*x_p + n*x_o)/(m+n), (m*y_p + n*y_o)/(m+n), (m*z_p + n*z_o)/(m+n)]
Di sini, O=(x_o, y_o, z_o) = (0,3,-3) dan P=(x_p, y_p, z_p) = (0,3,-3).  (Kesalahan dalam soal, seharusnya titik P diberikan koordinat yang berbeda dari O. Mari kita asumsikan P=(x_p, y_p, z_p) dan O adalah titik pangkal (0,0,0) seperti biasa).

Asumsi: O=(0,0,0), P=(0,3,-3), Q=(6,-3,-6)

Membagi OP dengan perbandingan 1:2 (m=1, n=2):
M = [(1*0 + 2*0)/(1+2), (1*3 + 2*0)/(1+2), (1*(-3) + 2*0)/(1+2)]
M = [0/3, 3/3, -3/3] = (0, 1, -1)

Membagi PQ dengan perbandingan 1:2 (m=1, n=2):
N = [(1*x_q + 2*x_p)/(1+2), (1*y_q + 2*y_p)/(1+2), (1*z_q + 2*z_p)/(1+2)]
N = [(1*6 + 2*0)/(1+2), (1*(-3) + 2*3)/(1+2), (1*(-6) + 2*(-3))/(1+2)]
N = [6/3, (-3+6)/3, (-6-6)/3]
N = [2, 3/3, -12/3] = (2, 1, -4)

b. Membuktikan MN sejajar dengan PQ:
Syarat dua vektor sejajar adalah salah satu vektor merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya. 

Hitung vektor MN:
MN = N - M = (2-0, 1-1, -4-(-1)) = (2, 0, -3)

Hitung vektor PQ:
PQ = Q - P = (6-0, -3-3, -6-(-3)) = (6, -6, -3)

Periksa apakah MN sejajar dengan PQ. Vektor MN = (2, 0, -3) dan vektor PQ = (6, -6, -3). 
Jika kita melihat komponennya, vektor MN tidak terlihat sebagai kelipatan skalar langsung dari PQ. Mari kita periksa kembali perhitungan.

Asumsi O=(0,3,-3) dan P=(6,-3,-6) dan M membagi OP dengan perbandingan 1:2, N membagi PQ dengan perbandingan 1:2.
Ini interpretasi yang berbeda dari "M membagi O P". Jika O adalah titik pangkal (0,0,0) dan P adalah titik (0,3,-3), maka M membagi OP. Jika P adalah (0,3,-3) dan Q adalah (6,-3,-6), maka N membagi PQ.

Mari gunakan interpretasi standar: O adalah titik pangkal (0,0,0).
P adalah titik (0,3,-3). Q adalah titik (6,-3,-6).
M membagi OP dengan perbandingan 1:2.
N membagi PQ dengan perbandingan 1:2.

Koordinat M:
M = (1*P + 2*O) / (1+2) = (1*(0,3,-3) + 2*(0,0,0)) / 3 = (0,3,-3) / 3 = (0, 1, -1)

Koordinat N:
N = (1*Q + 2*P) / (1+2) = (1*(6,-3,-6) + 2*(0,3,-3)) / 3 = (6,-3,-6 + 0,6,-6) / 3 = (6, 3, -12) / 3 = (2, 1, -4)

b. Membuktikan MN sejajar dengan PQ:

Vektor MN = N - M = (2-0, 1-1, -4-(-1)) = (2, 0, -3)
Vektor PQ = Q - P = (6-0, -3-3, -6-(-3)) = (6, -6, -3)

Perhatikan bahwa vektor MN = (2, 0, -3) dan vektor PQ = (6, -6, -3). Komponen y pada MN adalah 0, sedangkan pada PQ adalah -6. Ini menunjukkan MN tidak sejajar dengan PQ berdasarkan perhitungan ini. Ada kemungkinan kesalahan interpretasi soal atau data soal.

Mari kita coba interpretasi lain: M membagi OA dengan perbandingan 1:2, N membagi OB dengan perbandingan 1:2, di mana OA dan OB adalah vektor posisi dari P dan Q.

Jika soal merujuk pada teorema intercept dasar (Thales Theorem) atau teorema garis tengah segitiga, maka M dan N seharusnya membagi sisi-sisi segitiga.

Asumsi yang paling mungkin adalah P dan Q adalah titik, dan M, N adalah titik tengah atau titik yang membagi segmen garis.
Jika M membagi OP (dari O ke P) dengan perbandingan 1:2, berarti OM/MP = 1/2.
Jika N membagi PQ (dari P ke Q) dengan perbandingan 1:2, berarti PN/NQ = 1/2.

Mari kita gunakan teorema vektor untuk membagi segmen garis. Jika titik R membagi segmen AB dengan perbandingan m:n, maka R = (n*A + m*B) / (m+n).

Dengan O=(0,0,0), P=(0,3,-3), Q=(6,-3,-6):

M membagi OP dengan perbandingan 1:2:
M = (2*O + 1*P) / (1+2) = (2*(0,0,0) + 1*(0,3,-3)) / 3 = (0,3,-3) / 3 = (0, 1, -1)

N membagi PQ dengan perbandingan 1:2:
N = (2*P + 1*Q) / (1+2) = (2*(0,3,-3) + 1*(6,-3,-6)) / 3 = ((0,6,-6) + (6,-3,-6)) / 3 = (6, 3, -12) / 3 = (2, 1, -4)

b. Buktikan MN sejajar dengan PQ:
Hitung vektor MN:
MN = N - M = (2 - 0, 1 - 1, -4 - (-1)) = (2, 0, -3)

Hitung vektor PQ:
PQ = Q - P = (6 - 0, -3 - 3, -6 - (-3)) = (6, -6, -3)

Perhatikan bahwa vektor MN = (2, 0, -3) dan vektor PQ = (6, -6, -3). Tidak ada kelipatan skalar sederhana yang menghubungkan kedua vektor ini. 

Jika M membagi OP dan N membagi OQ dengan perbandingan yang sama, maka MN akan sejajar PQ.
Mari kita coba jika N membagi OQ dengan perbandingan 1:2:
N' = (2*O + 1*Q) / (1+2) = (2*(0,0,0) + 1*(6,-3,-6)) / 3 = (6,-3,-6) / 3 = (2, -1, -2)

Vektor MN' = N' - M = (2-0, -1-1, -2-(-1)) = (2, -2, -1)
Vektor PQ = (6, -6, -3)

Kita bisa lihat bahwa PQ = 3 * MN'. Ini berarti MN' sejajar dengan PQ. 

Kemungkinan besar, soal memiliki kesalahan penulisan dan N seharusnya membagi OQ, bukan PQ.

Asumsi perbaikan soal: M membagi OP dengan perbandingan 1:2, dan N membagi OQ dengan perbandingan 1:2.

a. Koordinat M = (0, 1, -1)
Koordinat N = (2, -1, -2)

b. Buktikan MN sejajar dengan PQ:
Vektor MN = N - M = (2-0, -1-1, -2-(-1)) = (2, -2, -1)
Vektor PQ = Q - P = (6-0, -3-3, -6-(-3)) = (6, -6, -3)
Karena PQ = 3 * MN, maka MN sejajar dengan PQ.

c. Tentukan nilai MN:PQ:
Panjang vektor MN = |MN| = sqrt(2² + (-2)² + (-1)²) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3
Panjang vektor PQ = |PQ| = sqrt(6² + (-6)² + (-3)²) = sqrt(36 + 36 + 9) = sqrt(81) = 9

Maka, nilai MN:PQ = 3:9 = 1:3.