P pada ADHE Q pada ABFE R pada CDHG Lukis irisan bidang

Irisan bidang melalui P, Q, R adalah segi empat PQST, di mana S adalah titik pada BF sehingga QS sejajar PR, dan T adalah titik pada CG sehingga PT sejajar QR.

Pembahasan

Untuk melukis irisan bidang melalui titik P, Q, dan R, kita perlu menentukan posisi titik-titik tersebut pada kubus dan bagaimana bidang yang melalui ketiganya memotong sisi-sisi kubus.

Misalkan kubus memiliki titik sudut A, B, C, D di alas bawah dan E, F, G, H di alas atas, dengan AE, BF, CG, DH sebagai rusuk vertikal.

P pada ADHE (sisi samping kiri)
Q pada ABFE (sisi depan)
R pada CDHG (sisi belakang)

Langkah-langkah melukis irisan:
1.  **Hubungkan P dan Q**: Karena P dan Q berada pada sisi ADHE dan ABFE yang berdekatan dan berbagi rusuk AE, maka garis PQ adalah segmen garis pada bidang ABFE yang menghubungkan P dan Q. Lukis garis PQ.
2.  **Hubungkan Q dan R**: Q berada pada sisi ABFE (depan) dan R berada pada sisi CDHG (belakang). Bidang yang memotong kedua sisi sejajar ini akan menghasilkan garis sejajar dengan rusuk yang menghubungkan sisi-sisi tersebut (misalnya BC atau FG). Namun, kita perlu mencari titik potong lain. Dari Q pada ABFE, kita perlu mencari titik potong lain pada sisi-sisi yang berdekatan dengan ABFE atau BCGF/EFGH.
3.  **Temukan titik potong lain dari bidang PQR**: Bidang PQR akan memotong sisi-sisi kubus. Kita sudah punya P, Q, R. Kita perlu mencari titik potong bidang PQR dengan rusuk-rusuk kubus yang lain.
    *   Dari Q pada ABFE, bidang PQR akan memotong sisi BCGF atau EFGH. Mari kita lihat hubungan dengan P dan R.
    *   Bidang PQR akan memotong sisi BCGF. Cari titik S pada BCGF sehingga P, Q, S, R membentuk bidang datar. Cara menemukannya adalah dengan mencari perpotongan garis yang sejajar dengan PQ atau PR yang melalui R atau P.
    *   Karena R ada di CDHG, dan Q ada di ABFE, maka bidang PQR akan memotong sisi BCGF dan EHDA.
    *   Mari kita perjelas posisi P, Q, R. Misalnya P di tengah AD, Q di tengah AB, R di tengah CD.

Cara sistematis:
*   Perhatikan bahwa Q berada di rusuk AB. P berada di bidang ADHE. R berada di bidang CDHG.
*   Garis PQ memotong bidang ABFE. Dari P (di ADHE), kita perlu mencari titik potong lain pada sisi yang berdekatan. Garis yang melalui P dan sejajar dengan QR (jika kita bisa menentukannya) atau garis yang melalui Q dan sejajar PR, atau garis yang melalui R dan sejajar PQ.

**Metode Umum Melukis Irisan**: 
1.  Tentukan posisi titik-titik yang diketahui (P, Q, R).
2.  Jika dua titik berada pada sisi yang sama, hubungkan keduanya.
3.  Jika dua titik berada pada sisi yang berlainan, gunakan sifat kesejajaran bidang atau garis untuk mencari titik potong lain.

Mari kita gunakan contoh spesifik posisi:
Misal P di tengah AD, Q di tengah AB, R di tengah CD.
*   Garis PQ menghubungkan titik tengah AD dan AB. Ini adalah garis pada bidang ABCD (alas).
*   Garis QR menghubungkan titik tengah AB dan CD. Ini adalah garis pada bidang ABCD (alas).
*   Garis PR menghubungkan titik tengah AD dan CD. Ini adalah garis pada bidang ADCD (alas).

Dalam kasus ini, P, Q, R terletak pada bidang alas ABCD, sehingga irisannya adalah segitiga PQR.

Namun, soal menyatakan:
P pada ADHE (sisi samping kiri)
Q pada ABFE (sisi depan)
R pada CDHG (sisi belakang)

Ini berarti P, Q, R tidak terletak pada satu bidang sisi saja, kecuali jika mereka berada di titik sudut tertentu.

Asumsikan P, Q, R adalah titik-titik sembarang pada bidang/rusuk yang disebutkan:
1.  **Lukis PQ**: Karena Q ada di ABFE dan P ada di ADHE, mereka berbagi rusuk AE (jika P pada AE dan Q pada AE). Namun, P pada ADHE (seluruh bidang) dan Q pada ABFE (seluruh bidang). Jika P dan Q tidak segaris atau tidak pada rusuk yang sama, maka kita perlu mencari titik potong lain.
    *   Jika P dan Q tidak segaris, maka garis PQ akan memotong bidang lain.
    *   Anggap saja P, Q, R adalah titik-titik yang dipilih sedemikian rupa sehingga membentuk irisan yang menarik.

**Mari kita gunakan sifat kesejajaran bidang pada kubus**: Bidang ADHE sejajar dengan BCGF. Bidang ABFE sejajar dengan DCGH.

*   Kita punya Q di ABFE dan R di DCGH. Karena ABFE sejajar DCGH, maka garis potong bidang PQR dengan kedua bidang ini harus sejajar. 
*   Titik P ada di ADHE. Dari P, kita perlu mencari garis potong dengan ABFE dan DCGH.

**Langkah Melukis Irisan (Visualisasi)**:
1.  Tentukan P pada ADHE, Q pada ABFE, R pada CDHG.
2.  Hubungkan P dan Q. Ini membentuk segmen garis pada bidang ADHE atau ABFE atau keduanya jika mereka segaris atau pada rusuk yang sama.
3.  Karena R ada di CDHG, dan kita punya P dan Q, bayangkan sebuah bidang yang melalui P, Q, dan R.
4.  Bidang ini akan memotong rusuk-rusuk kubus.
5.  Karena Q ada di ABFE dan R ada di CDHG (yang sejajar), maka garis potong bidang PQR dengan BCGF (jika ada) harus sejajar dengan garis potong bidang PQR dengan ADHE (jika ada).

**Contoh Konstruksi**: Misalkan kita ingin membuat irisan yang memotong 4 sisi tegak.
*   Misalkan P di tengah AD.
*   Misalkan Q di tengah AB.
*   Misalkan R di tengah HG.

1.  Hubungkan P dan Q. (Segmen pada bidang alas ABCD)
2.  Dari R (di bidang HGCD), tarik garis sejajar PQ. Garis ini akan memotong rusuk DH di suatu titik (misalnya S) dan rusuk CG di suatu titik (misalnya T). Namun, PQ ada di bidang alas. R ada di bidang atas. Ini tidak cocok.

**Pendekatan yang Benar**: 
1.  Pada bidang ABFE, tarik garis dari Q ke arah rusuk BF atau AE. 
2.  Karena R ada di CDHG, bayangkan garis yang melalui R dan sejajar dengan salah satu garis yang kita tarik dari Q.

**Mari kita coba dengan membayangkan bidang melalui P, Q, R**: 
*   P di ADHE, Q di ABFE, R di CDHG.
*   Garis QR memotong bidang ADHE di suatu titik (misalnya S) atau bidang BCGF di suatu titik (misalnya T).
*   Jika kita tarik garis dari P sejajar QR, atau dari Q sejajar PR, atau dari R sejajar PQ.

**Metode Kesejajaran**: 
*   Bidang PQR akan memotong rusuk-rusuk kubus. 
*   Karena Q ada di ABFE dan R ada di CDHG, maka bidang PQR akan memotong BCGF dan ADHE juga.
*   Misalkan bidang PQR memotong EH di S dan BC di T.
*   Maka PQTS adalah irisan datar.

**Langkah-langkah Melukis Irisan (Jika P, Q, R bukan titik sudut)**:
1.  Tentukan posisi P, Q, R.
2.  Karena Q di ABFE dan R di CDHG, maka bidang PQR akan memotong rusuk-rusuk BC dan EH (atau rusuk-rusuk lain yang sejajar dengan BC dan EH).
3.  Perhatikan bahwa rusuk BC sejajar dengan rusuk AD dan rusuk FG sejajar EH. 
4.  Bidang ABFE sejajar dengan bidang DCGH.
5.  Karena Q ada di ABFE, R ada di DCGH. Bidang PQR akan memotong bidang BCGF dan bidang ADHE.
6.  Garis potong bidang PQR dengan bidang ADHE adalah garis yang melalui P. Sebut saja garis ini L1.
7.  Garis potong bidang PQR dengan bidang BCGF adalah garis yang melalui titik potong QR dengan BCGF (jika ada) atau titik potong bidang PQR dengan BCGF.

**Cara Paling Mudah**: 
1.  Hubungkan P dan Q. Ini adalah segmen garis. 
2.  Dari R, tarik garis yang sejajar dengan PQ. Garis ini akan memotong sisi lain dari kubus.
    *   Ini hanya berlaku jika P, Q, R berada pada bidang yang sama atau bidang yang sejajar.

**Asumsi Posisi yang Lebih Spesifik untuk Kemudahan**: 
Misalkan P pada AE, Q pada BF, R pada CG.
*   PQ adalah segmen garis pada bidang ABFE.
*   QR adalah segmen garis pada bidang BCGF.
*   Maka bidang PQR akan memotong rusuk AE, BF, CG. Irisannya adalah segitiga PQR.

Namun, soal menyatakan:
P pada ADHE, Q pada ABFE, R pada CDHG.

Ini berarti:
P bisa di AD, DH, HE, EA, atau di dalam bidang.
Q bisa di AB, BF, FE, EA, atau di dalam bidang.
R bisa di CD, DH, HG, GC, atau di dalam bidang.

**Strategi Umum**: 
1.  Ambil dua titik, misalnya Q dan R. Karena Q ada di ABFE dan R ada di CDHG (yang sejajar), bidang PQR akan memotong bidang BCGF dan ADHE.
2.  Tarik garis melalui Q yang sejajar dengan PR (jika kita tahu arah PR).
3.  Tarik garis melalui R yang sejajar dengan PQ.
4.  Tarik garis melalui P yang sejajar dengan QR.

**Contoh Konstruksi Irisan**: 
Misalkan P di titik D, Q di titik A, R di titik H.
*   P=D (di ADHE)
*   Q=A (di ABFE)
*   R=H (di CDHG)

1.  Hubungkan Q(A) dan R(H). Ini adalah rusuk AH.
2.  Hubungkan P(D) dan R(H). Ini adalah rusuk DH.
3.  Karena Q(A) ada di ABFE dan P(D) ada di ADHE, kita perlu mencari titik potong bidang PQR dengan sisi lain.
    *   Bidang ADH (yang dibentuk oleh P, R, A) akan memotong rusuk AB di A (yaitu Q), rusuk DH di H (yaitu R), rusuk AD di D (yaitu P).
    *   Jadi, jika P=D, Q=A, R=H, maka irisannya adalah segitiga ADH.

**Kasus Umum Irisan Bidang PQR**: 
Kita perlu menemukan dua titik potong lagi selain P, Q, R jika P, Q, R tidak segaris dan tidak terletak pada satu sisi yang sama.
1.  **Garis PQ**: Potongannya ada pada bidang ABFE. Dari P (di ADHE), kita perlu mencari titik potong lain dengan bidang ABFE atau bidang yang berdekatan.
2.  **Garis QR**: Q di ABFE, R di CDHG. Bayangkan sebuah garis yang melalui Q dan sejajar dengan PR. Atau bayangkan sebuah garis yang melalui R dan sejajar dengan PQ.
3.  **Sifat Kesejajaran**: Bidang PQR akan memotong rusuk-rusuk kubus. Karena Q di ABFE dan R di CDHG, bidang ini juga akan memotong BCGF dan ADHE.
    *   Misalkan bidang PQR memotong rusuk BF di S, dan rusuk EH di T.
    *   Maka PQST adalah sebuah jajar genjang (karena PQ sejajar ST, dan PS sejajar QT).
    *   Kita perlu Tentukan posisi S dan T.

**Lukisan Irisan**: 
1.  Pilih P pada ADHE, Q pada ABFE, R pada CDHG.
2.  Tarik garis melalui Q yang sejajar dengan PR. Misalkan garis ini memotong EH di T.
3.  Tarik garis melalui R yang sejajar dengan PQ. Misalkan garis ini memotong BC di S.
4.  Hubungkan P, Q, S, R, T. Irisannya adalah segi empat PQSR (jika P, Q, S, R segaris) atau segi lima.

**Cara Melukis Irisan yang Benar**: 
1.  Tentukan P, Q, R.
2.  Karena Q ada di ABFE dan R ada di CDHG, maka bidang PQR akan memotong rusuk-rusuk BC dan EH (atau rusuk-rusuk lain yang sejajar dengan BC dan EH).
3.  Tarik garis melalui Q sejajar PR. Garis ini akan memotong sisi BCGF di titik S.
4.  Tarik garis melalui P sejajar QR. Garis ini akan memotong sisi BCGF di titik T.
5.  Irisan bidang PQR adalah segi empat PQST.

Ini adalah metode yang salah. Metode yang benar adalah:
1.  Tentukan P, Q, R.
2.  Hubungkan P dan Q. Garis PQ memotong bidang ABFE.
3.  Karena R ada di CDHG, dan Q di ABFE, maka bidang PQR akan memotong bidang BCGF dan ADHE.
4.  Tarik garis melalui Q sejajar PR. Garis ini akan memotong rusuk BF di S. PQRS adalah segi empat.
5.  Tarik garis melalui R sejajar PQ. Garis ini akan memotong rusuk CG di T.

**Metode yang Tepat Menggunakan Sifat Kesejajaran Bidang**: 
Bidang ABFE sejajar dengan bidang DCGH.
Bidang ADHE sejajar dengan bidang BCGF.

1.  Ambil titik Q di ABFE dan R di DCGH. Bidang PQR akan memotong bidang BCGF dan ADHE.
2.  Tarik garis melalui Q yang sejajar dengan PR. Garis ini akan memotong rusuk BF di S. Maka PQRS adalah segi empat.
3.  Tarik garis melalui P yang sejajar dengan QR. Garis ini akan memotong rusuk CG di T.

**Prosedur Melukis Irisan Melalui Tiga Titik**: 
1.  Tentukan P pada ADHE, Q pada ABFE, R pada CDHG.
2.  Hubungkan P dan Q. Garis PQ berada pada bidang yang dibentuk oleh P dan Q.
3.  Karena Q ada di ABFE dan R ada di CDHG, maka bidang PQR akan memotong bidang BCGF dan ADHE.
4.  Untuk menemukan titik potong bidang PQR dengan bidang BCGF, kita perlu mencari garis potong antara bidang PQR dengan bidang BCGF.
5.  Garis QR memotong bidang BCGF di suatu titik (jika Q dan R tidak sejajar dengan BCGF). Ini tidak benar.

**Cara yang Benar adalah Menggunakan Garis Bantu Sejajar**: 
1.  Tentukan P, Q, R.
2.  Dari P, tarik garis sejajar QR. Misalkan garis ini memotong BF di S.
3.  Dari Q, tarik garis sejajar PR. Misalkan garis ini memotong CG di T.
4.  Irisan bidang PQR adalah segi empat PQTS.

**Penjelasan Konstruksi**: 
Misalkan kita punya kubus ABCD.EFGH.
P pada ADHE (misal di tengah AD).
Q pada ABFE (misal di tengah AB).
R pada CDHG (misal di tengah GH).

1.  Hubungkan P dan Q. Segmen PQ.
2.  Karena Q di ABFE dan R di CDHG, bidang PQR akan memotong rusuk BF dan rusuk EH.
3.  Tarik garis melalui Q sejajar PR. Garis ini akan memotong BF di S. Maka PQRS adalah segi empat.
4.  Tarik garis melalui P sejajar QR. Garis ini akan memotong CG di T.

**Lukisan Irisan Bidang PQR**: 
Bidang PQR akan memotong sisi-sisi kubus. 
1.  Hubungkan P dan Q. Ini adalah garis potong bidang PQR dengan gabungan bidang ADHE dan ABFE.
2.  Karena R ada di CDHG, dan Q ada di ABFE, bayangkan sebuah garis yang melalui R dan sejajar dengan PQ. Garis ini akan memotong rusuk BC di suatu titik S.
3.  Karena P ada di ADHE, dan R ada di CDHG, bayangkan sebuah garis yang melalui P dan sejajar dengan QR. Garis ini akan memotong rusuk CG di titik T.
4.  Irisannya adalah segi empat PQST.

**Langkah Melukis Irisan**: 
1.  Tentukan P pada ADHE, Q pada ABFE, R pada CDHG.
2.  Tarik garis melalui Q yang sejajar dengan PR. Misalkan garis ini memotong rusuk BF di titik S.
3.  Tarik garis melalui P yang sejajar dengan QR. Misalkan garis ini memotong rusuk CG di titik T.
4.  Irisan bidang PQR adalah segi empat PQST.