Pada bangun D.ABC, diketahui bahwa bidang ABC sama sisi dan

tan theta = 2/3

Pembahasan

Diberikan bangun D.ABC dengan ABC adalah segitiga sama sisi, dan DC tegak lurus bidang ABC. Panjang DC = 1, dan sudut DBC = 30 derajat. Theta adalah sudut antara bidang DAB dan bidang CAB. Kita perlu mencari tan(theta).

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Karena ABC adalah segitiga sama sisi, maka sudut antara setiap sisi dan bidang alas adalah 0. Sudut antara sisi miring dan bidang alas adalah sama dengan sudut antara garis proyeksinya pada bidang alas dan sisi alas itu sendiri.
2. Karena DC tegak lurus ABC, maka DC tegak lurus BC dan DC tegak lurus AC.
3. Dalam segitiga siku-siku DBC, kita memiliki DC = 1 dan sudut DBC = 30 derajat. Kita bisa mencari panjang BC menggunakan tangen: tan(30) = DC/BC => BC = DC / tan(30) = 1 / (1/sqrt(3)) = sqrt(3).
4. Karena ABC adalah segitiga sama sisi, maka panjang AB = BC = AC = sqrt(3).
5. Sekarang kita perlu mencari sudut antara bidang DAB dan bidang CAB. Bidang CAB adalah bidang alas ABC. Bidang DAB dibentuk oleh garis DA, AB, dan BD.
6. Untuk mencari sudut antara dua bidang, kita cari garis potong kedua bidang tersebut, yaitu garis AB.
7. Kita perlu mencari garis pada masing-masing bidang yang tegak lurus terhadap garis potong AB di titik yang sama. Misalkan titik potong tersebut adalah P pada AB.
8. Pada bidang ABC (bidang alas), kita dapat menarik garis dari C yang tegak lurus AB. Karena ABC sama sisi, garis ini adalah garis tinggi dan juga median. Misalkan titik potongnya adalah M. Maka CM tegak lurus AB.
9. Pada bidang DAB, kita perlu mencari garis dari D yang tegak lurus AB. Karena DC tegak lurus bidang ABC, maka DC tegak lurus AB. Segitiga DBC siku-siku di C. Segitiga DAC siku-siku di C.
10. Perhatikan segitiga DBC. Sudut DBC = 30, DC = 1, BC = sqrt(3). Dengan menggunakan teorema Pythagoras, DB^2 = DC^2 + BC^2 = 1^2 + (sqrt(3))^2 = 1 + 3 = 4. Maka DB = 2.
11. Sekarang kita perlu mencari sudut antara bidang DAB dan bidang CAB. Sudut theta adalah sudut antara garis DM dan CM, di mana M adalah titik pada AB sehingga CM tegak lurus AB dan DM tegak lurus AB.
12. Karena ABC sama sisi, M adalah titik tengah AB. Panjang AM = MB = sqrt(3)/2. CM adalah tinggi segitiga sama sisi, CM = sqrt(3)/2 * sisi = sqrt(3)/2 * sqrt(3) = 3/2.
13. Dalam segitiga siku-siku DMC, DM tegak lurus MC karena DC tegak lurus bidang ABC. Sisi DM = DB = 2 (karena segitiga DBC memiliki sudut 30, 60, 90 dan segitiga DAB harus dianalisis lebih lanjut).
14. Namun, kita perlu garis tegak lurus dari D ke AB pada bidang DAB. Karena DC tegak lurus bidang ABC, maka DC tegak lurus AB. Segitiga DBC siku-siku di C. Sudut DBC=30, DC=1, BC=sqrt(3), DB=2. Segitiga DAC siku-siku di C. Sudut DAC = 90. DC=1, AC=sqrt(3). AD^2 = AC^2 + DC^2 = (sqrt(3))^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4. AD = 2.
15. Segitiga DAB adalah segitiga sama kaki dengan DA = DB = 2 dan AB = sqrt(3). Misalkan M adalah titik tengah AB. Maka DM tegak lurus AB. Panjang DM dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga DMA: DM^2 + AM^2 = DA^2 => DM^2 + (sqrt(3)/2)^2 = 2^2 => DM^2 + 3/4 = 4 => DM^2 = 4 - 3/4 = 13/4 => DM = sqrt(13)/2.
16. Sudut theta adalah sudut antara garis DM (pada bidang DAB) dan garis CM (pada bidang CAB), dimana keduanya tegak lurus AB di titik M.
17. Kita perhatikan segitiga DCM. Sisi-sisinya adalah DC = 1, CM = 3/2, dan DM = sqrt(13)/2. Sudut theta adalah sudut DCM.
18. Menggunakan aturan kosinus pada segitiga DCM untuk mencari sudut theta (sudut antara CM dan DM):
   DM^2 = DC^2 + CM^2 - 2 * DC * CM * cos(theta)
   (sqrt(13)/2)^2 = 1^2 + (3/2)^2 - 2 * 1 * (3/2) * cos(theta)
   13/4 = 1 + 9/4 - 3 * cos(theta)
   13/4 = 4/4 + 9/4 - 3 * cos(theta)
   13/4 = 13/4 - 3 * cos(theta)
   0 = -3 * cos(theta)
   cos(theta) = 0
   theta = 90 derajat.

Mari kita tinjau ulang. Sudut antara bidang DAB dengan CAB adalah sudut antara garis normal kedua bidang. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan mencari garis di kedua bidang yang tegak lurus pada garis potong AB di titik yang sama. Garis potongnya adalah AB.

Pada bidang CAB (segitiga sama sisi ABC), garis CM tegak lurus AB, di mana M adalah titik tengah AB. CM = (sqrt(3)/2) * sisi = (sqrt(3)/2) * sqrt(3) = 3/2.

Pada bidang DAB, karena DC tegak lurus bidang ABC, maka DC tegak lurus setiap garis pada bidang ABC yang melalui C, termasuk BC dan AC. Segitiga DBC siku-siku di C, dengan DC = 1, BC = sqrt(3), DB = 2. Segitiga DAC siku-siku di C, dengan DC = 1, AC = sqrt(3), AD = 2. Jadi segitiga DAB adalah segitiga sama kaki dengan DA=DB=2, AB=sqrt(3).

Misalkan M adalah titik pada AB sehingga DM tegak lurus AB. Karena segitiga DAB sama kaki, M adalah titik tengah AB. DM = sqrt(DA^2 - AM^2) = sqrt(2^2 - (sqrt(3)/2)^2) = sqrt(4 - 3/4) = sqrt(13/4) = sqrt(13)/2.

Theta adalah sudut antara CM dan DM. Kita perlu menggunakan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh DC, CM, dan DM. Perhatikan segitiga DCM. Sisi-sisinya adalah DC = 1, CM = 3/2, dan DM = sqrt(13)/2. Sudut theta adalah sudut yang dibentuk oleh DM dan CM.

Kita perlu mencari sudut antara DM dan CM. Gunakan aturan cosinus pada segitiga DCM untuk mencari sudut di M (karena CM tegak lurus AB dan DM tegak lurus AB, maka sudut antara CM dan DM adalah sudut di M pada bidang yang tegak lurus AB).

Namun, theta adalah sudut antara bidang DAB dan CAB. Ini adalah sudut antara garis CM dan DM, di mana keduanya tegak lurus AB di M.

Perhatikan segitiga siku-siku DMC, siku-siku di C (karena DC tegak lurus bidang ABC, maka DC tegak lurus CM).
Kita punya:
DC = 1 (tinggi)
CM = 3/2 (setengah tinggi segitiga sama sisi ABC)
DM = sqrt(13)/2 (garis tinggi segitiga sama kaki DAB)

Theta adalah sudut antara DM (garis di bidang DAB tegak lurus AB) dan CM (garis di bidang CAB tegak lurus AB).
Dalam segitiga siku-siku DMC, sudut yang kita cari adalah sudut di M, yaitu sudut antara DM dan CM. 

Kita bisa menggunakan definisi tangen pada segitiga siku-siku DMC, dengan sudut theta di M:
tan(theta) = Sisi depan / Sisi samping = DC / CM
tan(theta) = 1 / (3/2)
tan(theta) = 2/3