Kelas 9Kelas 10mathGeometri
Pada Gambar 5-6 di samping ini, segitiga ABC siku-siku di C
Pertanyaan
Pada Gambar 5-6 di samping ini, segitiga ABC siku-siku di C dan segitiga ADE siku-siku di E. Dengan menggunakan sifat kesebangunan, tunjukkan bahwa: a) sin a=BC/AB=DE/AD b) cos a=AC/AB=AE/AD c) tan a=BC/AC=DE/AE
Solusi
Verified
Karena segitiga ABC dan ADE sebangun (memiliki sudut A dan sudut siku-siku yang sama), maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama, yang membuktikan identitas sinus, kosinus, dan tangen yang diberikan.
Pembahasan
Perhatikan gambar segitiga ABC siku-siku di C dan segitiga ADE siku-siku di E. Sudut A pada kedua segitiga adalah sudut yang sama (sudut $\alpha$). Karena kedua segitiga memiliki sudut siku-siku (90°) dan sudut A yang sama, maka kedua segitiga tersebut sebangun berdasarkan kriteria kesebangunan Sudut-Sudut-Sudut (SSS) atau Sudut-Sudut (AA). Dengan menggunakan sifat kesebangunan, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Mari kita analisis setiap poin: a) **Menunjukkan sin α = BC/AB = DE/AD** * Dalam segitiga ABC (siku-siku di C), sin α didefinisikan sebagai perbandingan sisi depan sudut α terhadap sisi miring. Sisi depan sudut A adalah BC, dan sisi miringnya adalah AB. Jadi, $\sin \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{BC}{AB}$. * Dalam segitiga ADE (siku-siku di E), sisi depan sudut A adalah DE, dan sisi miringnya adalah AD. Jadi, $\sin \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{DE}{AD}$. * Karena segitiga ABC dan ADE sebangun, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Sisi BC bersesuaian dengan DE, dan sisi AB bersesuaian dengan AD. Oleh karena itu, $\frac{BC}{AB} = \frac{DE}{AD}$. * Kesimpulan: $\sin \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{DE}{AD}$. (Terbukti) b) **Menunjukkan cos α = AC/AB = AE/AD** * Dalam segitiga ABC, cos α didefinisikan sebagai perbandingan sisi samping sudut α terhadap sisi miring. Sisi samping sudut A adalah AC, dan sisi miringnya adalah AB. Jadi, $\cos \alpha = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{AC}{AB}$. * Dalam segitiga ADE, sisi samping sudut A adalah AE, dan sisi miringnya adalah AD. Jadi, $\cos \alpha = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{AE}{AD}$. * Karena kesebangunan, sisi AC bersesuaian dengan AE, dan sisi AB bersesuaian dengan AD. Oleh karena itu, $\frac{AC}{AB} = \frac{AE}{AD}$. * Kesimpulan: $\cos \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{AE}{AD}$. (Terbukti) c) **Menunjukkan tan α = BC/AC = DE/AE** * Dalam segitiga ABC, tan α didefinisikan sebagai perbandingan sisi depan sudut α terhadap sisi samping sudut α. Sisi depan adalah BC, dan sisi samping adalah AC. Jadi, $\tan \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{BC}{AC}$. * Dalam segitiga ADE, sisi depan adalah DE, dan sisi samping adalah AE. Jadi, $\tan \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{DE}{AE}$. * Karena kesebangunan, sisi BC bersesuaian dengan DE, dan sisi AC bersesuaian dengan AE. Oleh karena itu, $\frac{BC}{AC} = \frac{DE}{AE}$. * Kesimpulan: $\tan \alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{DE}{AE}$. (Terbukti) Semua pernyataan terbukti benar berdasarkan sifat kesebangunan dua segitiga siku-siku tersebut.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Kesebangunan Segitiga, Trigonometri Dasar
Section: Aplikasi Kesebangunan Pada Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?