Pada gambar berikut, M titik tengah OP dan Q titik tengah

Soal ini tidak dapat diselesaikan sepenuhnya karena kurangnya informasi mengenai titik X dan adanya ambiguitas dalam definisi titik Q sebagai titik tengah OY dengan vektor OQ yang diberikan.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai k dan n, serta vektor-vektor yang diminta, kita perlu memahami konsep translasi dan vektor dalam geometri.

Diketahui:
M adalah titik tengah OP, sehingga vektor $\vec{PM} = \vec{MP} = \frac{1}{2}\vec{OP}$.
Q adalah titik tengah OY, sehingga vektor $\vec{OQ} = \vec{QY} = \frac{1}{2}\vec{OY}$.
vektor OP = 2a + b
vektor OQ = 6a - b

(i) Menghitung vektor QY dan XQ:
Karena Q adalah titik tengah OY, maka $\vec{QY} = \vec{OQ}$. Namun, dalam soal diberikan vektor OQ = 6a - b. Jika Q adalah titik tengah OY, maka seharusnya vektor OQ = vektor QY. Terdapat inkonsistensi dalam penamaan titik atau definisi Q sebagai titik tengah OY dengan informasi vektor OQ yang diberikan.

Asumsikan Q adalah titik pada garis OY sehingga $\vec{OQ} = 6a-b$. Jika Q adalah titik tengah OY, maka $\vec{OY} = 2 \vec{OQ} = 2(6a-b) = 12a-2b$. Maka $\vec{QY} = \vec{OY} - \vec{OQ} = (12a-2b) - (6a-b) = 6a-b$.

Untuk menghitung vektor XQ, kita perlu informasi mengenai titik X atau hubungannya dengan titik-titik lain. Tanpa informasi ini, vektor XQ tidak dapat dihitung.

(ii) Menghitung vektor PX dan vektor PQ:
Karena M adalah titik tengah OP, maka $\vec{PM} = \frac{1}{2}\vec{OP}$.
$\vec{OP} = 2a + b$. Maka $\vec{PM} = \frac{1}{2}(2a+b) = a + \frac{1}{2}b$.

$\vec{PX} = \vec{OP} - \vec{OX}$. Tanpa informasi titik X, vektor PX tidak dapat dihitung.

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (6a-b) - (2a+b) = 6a - b - 2a - b = 4a - 2b$.

(iii) Menghitung vektor XY dan vektor MY:
$\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$. Tanpa informasi titik X, vektor XY tidak dapat dihitung.

$\vec{MY} = \vec{OY} - \vec{OM}$. Karena M adalah titik tengah OP, maka $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OP} = \frac{1}{2}(2a+b) = a + \frac{1}{2}b$.
$\vec{MY} = (12a-2b) - (a + \frac{1}{2}b) = 12a - 2b - a - \frac{1}{2}b = 11a - \frac{5}{2}b$.

Karena terdapat informasi yang kurang atau ambigu dalam soal (posisi titik X, definisi Q sebagai titik tengah OY dengan vektor OQ yang diberikan), soal ini tidak dapat diselesaikan sepenuhnya tanpa klarifikasi lebih lanjut.