Diketahui tiga titik: P(-2,7), Q(2,3) , dan R(4,5) .

PQ tegak lurus QR karena hasil kali gradiennya -1. Persamaan lingkaran adalah (x-2)^2 + (y-5)^2 = 4.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa PQ tegak lurus QR, kita perlu menghitung gradien kedua garis tersebut. Gradien garis PQ (mPQ) dihitung dengan rumus (y2 - y1) / (x2 - x1). Untuk PQ, mPQ = (3 - 7) / (2 - (-2)) = -4 / 4 = -1. Gradien garis QR (mQR) dihitung dengan rumus yang sama. Untuk QR, mQR = (5 - 3) / (4 - 2) = 2 / 2 = 1. Dua garis dikatakan tegak lurus jika hasil perkalian gradiennya adalah -1. mPQ * mQR = -1 * 1 = -1. Jadi, PQ tegak lurus QR.

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik P(-2,7), Q(2,3), dan R(4,5), kita gunakan bentuk umum persamaan lingkaran (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Kita substitusikan ketiga titik ke dalam persamaan umum: 
1. (-2 - a)^2 + (7 - b)^2 = r^2 => 4 - 4a + a^2 + 49 - 14b + b^2 = r^2 => a^2 + b^2 - 4a - 14b + 53 = r^2
2. (2 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2 => 4 - 4a + a^2 + 9 - 6b + b^2 = r^2 => a^2 + b^2 - 4a - 6b + 13 = r^2
3. (4 - a)^2 + (5 - b)^2 = r^2 => 16 - 8a + a^2 + 25 - 10b + b^2 = r^2 => a^2 + b^2 - 8a - 10b + 41 = r^2

Samakan persamaan 1 dan 2:
a^2 + b^2 - 4a - 14b + 53 = a^2 + b^2 - 4a - 6b + 13 => -14b + 53 = -6b + 13 => 40 = 8b => b = 5.

Samakan persamaan 2 dan 3:
a^2 + b^2 - 4a - 6b + 13 = a^2 + b^2 - 8a - 10b + 41 => -4a - 6b + 13 = -8a - 10b + 41. Substitusikan b=5: -4a - 6(5) + 13 = -8a - 10(5) + 41 => -4a - 30 + 13 = -8a - 50 + 41 => -4a - 17 = -8a - 9 => 4a = 8 => a = 2.

Jadi, pusat lingkaran adalah (2,5).

Sekarang cari jari-jari (r) dengan mensubstitusikan a=2 dan b=5 ke salah satu persamaan awal, misalnya persamaan 2:
r^2 = (2 - 2)^2 + (3 - 5)^2 = 0^2 + (-2)^2 = 4. Jadi, r = 2.

Persamaan lingkaran yang melalui titik P, Q, dan R adalah (x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4.