Pada gambar di atas, AB merupakan garis singgung lingkaran

r = 5 cm

Pembahasan

Dalam soal ini, kita diberikan sebuah lingkaran dengan pusat O, dan sebuah garis singgung AB. Diketahui panjang AB = 12 cm dan PB = 8 cm. Kita diminta untuk mencari panjang jari-jari (r) lingkaran.

Karena AB adalah garis singgung lingkaran di titik A, maka OA tegak lurus terhadap AB. Ini berarti segitiga OAB adalah segitiga siku-siku di A.

Dalam segitiga siku-siku OAB, kita memiliki:
OA = r (jari-jari)
AB = 12 cm
OB = OA + AB (jika P berada di antara O dan B) atau OB = OP + PB (jika O, P, B segaris). Berdasarkan gambar (yang tidak disertakan, namun umum dalam soal seperti ini), P biasanya terletak pada garis OB, dan A adalah titik singgung.

Jika P berada pada garis OB, dan PB = 8 cm, maka:
OB = OP + PB
OB = r + 8 (karena OP = OA = r jika O, P segaris dan P adalah titik pada garis OB yang berjarak r dari O).

Namun, dari penamaan titik (O, r, A, Q, P, B), tampaknya ada beberapa informasi atau penamaan yang kurang jelas tanpa gambar. Mari kita asumsikan skenario paling umum di mana AB adalah garis singgung di A, O adalah pusat, dan P adalah titik pada OB sedemikian rupa sehingga OP = r (sehingga P adalah titik pada OB yang berjarak sama dengan jari-jari dari O, namun ini tidak selalu benar).

Mari kita asumsikan P adalah titik pada OB sedemikian rupa sehingga OP = OA = r. Ini berarti segitiga OAP adalah segitiga sama kaki jika AP ditarik.

Interpretasi yang lebih mungkin adalah: AB adalah garis singgung di A, O adalah pusat. P adalah titik pada garis OB. OA = r. AB = 12. PB = 8. Kita perlu menemukan r.

Dalam segitiga siku-siku OAB (siku-siku di A):
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
$OB^2 = r^2 + 12^2$
$OB^2 = r^2 + 144$

Sekarang, bagaimana hubungan PB = 8 dengan OB dan r? Jika P terletak pada segmen OB, maka OB = OP + PB. Namun, kita tidak tahu OP. Jika O, P, B segaris dan P terletak di luar segmen OB, maka ada kemungkinan lain.

Asumsi standar untuk soal jenis ini: P terletak pada garis OB, dan OP adalah bagian dari OB. OA = r, AB = 12. PB = 8.
Jika P adalah titik pada OB, maka OB = OP + PB. Kita tidak tahu OP. 

Mari kita pertimbangkan kemungkinan bahwa O, P, B adalah segaris dan P adalah titik pada OB. Jika OA = r, maka OB adalah sisi miring segitiga siku-siku OAB. OB = $\sqrt{r^2 + 144}$.

Jika P terletak pada OB, maka OB = OP + PB. Kita tidak tahu OP. 

Kemungkinan lain adalah P adalah titik di luar O tapi pada garis yang sama dengan OB. Jika P adalah titik sedemikian rupa sehingga O-P-B, maka OB = OP + PB. Jika O-B-P, maka OP = OB + BP. Jika P-O-B, maka PB = PO + OB.

Mari kita coba asumsi paling umum yang sesuai dengan pilihan jawaban yang diberikan. Seringkali dalam soal seperti ini, P adalah titik pada garis OB sedemikian rupa sehingga OP = r, namun ini tidak logis karena P juga ada hubungannya dengan PB.

Kemungkinan yang paling masuk akal adalah O, P, B segaris, dan P terletak pada segmen OB, dan OA=r, AB=12, PB=8.
Kita punya $OB = \sqrt{r^2 + 144}$.
Jika P ada di OB, maka $OB = OP + PB$. Kita tidak tahu OP.

Coba kita balik: P adalah titik pada OB, sehingga OP = OB - PB. Jika OP = r, maka $r = OB - 8$. 
Substitusikan OB:
$r = \sqrt{r^2 + 144} - 8$
$r + 8 = \sqrt{r^2 + 144}$
Kuadratkan kedua sisi:
$(r + 8)^2 = r^2 + 144$
$r^2 + 16r + 64 = r^2 + 144$
$16r + 64 = 144$
$16r = 144 - 64$
$16r = 80$
$r = 80 / 16$
$r = 5$. 

Mari kita periksa apakah jawaban ini masuk akal dengan pilihan yang ada. Pilihan a adalah 5 cm. Ini cocok.

Jadi, asumsi yang digunakan adalah: O, P, B segaris, P terletak pada segmen OB, OA adalah jari-jari (r) dan tegak lurus AB, AB=12, PB=8, dan OP = r.

Bukti matematis:
Dalam $\triangle OAB$ siku-siku di A:
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
$OB^2 = r^2 + 12^2 = r^2 + 144$
$OB = \sqrt{r^2 + 144}$

Karena O, P, B segaris dan P di antara O dan B, maka $OB = OP + PB$.
Dengan asumsi OP = r:
$\sqrt{r^2 + 144} = r + 8$
Kuadratkan kedua sisi:
$r^2 + 144 = (r + 8)^2$
$r^2 + 144 = r^2 + 16r + 64$
$144 = 16r + 64$
$144 - 64 = 16r$
$80 = 16r$
$r = 5$.

Jadi, panjang jari-jari (r) adalah 5 cm.