Pada gambar di samping, PR dan QR adalah garis singgung

Luas layang-layang OQRP adalah 192 cm².

Pembahasan

Untuk menghitung luas layang-layang OQRP, kita perlu mengetahui panjang kedua diagonalnya atau panjang sisi-sisi yang membentuk layang-layang tersebut.

Diketahui:
*   OQ dan OR adalah garis singgung lingkaran.
*   Lingkaran berpusat di O.
*   OQ = 12 cm (jari-jari lingkaran, karena OQ adalah garis dari pusat ke titik singgung).
*   OR = 20 cm (ini tampaknya merupakan jarak dari pusat O ke titik R di luar lingkaran, yang jika OQ dan OR adalah garis singgung ke titik yang sama, maka OQ=OR. Namun, dari gambar yang disebutkan, OQ dan QR adalah garis singgung ke lingkaran yang sama di titik Q dan R. O adalah pusat lingkaran.

Mari kita asumsikan O adalah pusat lingkaran, Q adalah titik singgung pertama, dan R adalah titik singgung kedua. PQ dan PR adalah garis singgung dari titik P ke lingkaran di Q dan R. Maka:

*   OQ adalah jari-jari (r) = 12 cm.
*   Segitiga OQP adalah segitiga siku-siku di Q (karena garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari di titik singgung).
*   OP adalah sisi miring.
*   OR = 20 cm tampaknya adalah jarak dari pusat O ke titik P (yang seharusnya disebut P, bukan R).

Jika kita mengasumsikan P adalah titik di luar lingkaran dari mana garis singgung ditarik, dan O adalah pusat lingkaran, serta Q dan R adalah titik singgungnya:

*   OQ = OR = jari-jari (r) = 12 cm.
*   PQ = PR (panjang garis singgung dari satu titik ke lingkaran adalah sama).
*   Segitiga OQP siku-siku di Q.
*   Segitiga ORP siku-siku di R.

Informasi yang diberikan adalah OQ=12 cm dan OR=20 cm. Ini menimbulkan ambiguitas. Jika O adalah pusat, dan Q serta R adalah titik di lingkaran, maka OQ dan OR adalah jari-jari. Jika OQ dan QR adalah garis singgung, maka O adalah pusat dan Q adalah titik singgung, dan R mungkin adalah titik lain di luar lingkaran.

Berdasarkan deskripsi "PR dan QR adalah garis singgung lingkaran dengan lingkaran yang berpusat di O", ini berarti:
*   O adalah pusat lingkaran.
*   Q adalah titik singgung PR dan QR.
*   R adalah titik singgung QR.

Ini berarti OQ adalah jari-jari dan tegak lurus terhadap PR di Q.
Dan OR adalah jari-jari dan tegak lurus terhadap QR di R.

Jadi, OQ = OR = jari-jari = 12 cm.
Nilai OR=20 cm dalam soal ini membingungkan jika OQ=12 adalah jari-jari. Mari kita asumsikan P adalah titik di luar lingkaran, dan PQ serta PR adalah garis singgung ke lingkaran di titik Q dan R.

*   OQ = Jari-jari = 12 cm.
*   PQ = PR.
*   Segitiga OQP siku-siku di Q.
*   Segitiga ORP siku-siku di R. (Ini seharusnya OP bukan OR)

Jika kita menginterpretasikan soal sebagai: O adalah pusat lingkaran, Q adalah titik singgung, dan P adalah titik di luar lingkaran sehingga PQ adalah garis singgung. Dan OR=20 cm adalah jarak dari pusat O ke titik P (yaitu OP = 20 cm).

Maka:
*   OQ = 12 cm (jari-jari, r)
*   OP = 20 cm
*   Segitiga OQP siku-siku di Q.

Kita bisa mencari panjang PQ menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga OQP:
\(OP^2 = OQ^2 + PQ^2\)
\(20^2 = 12^2 + PQ^2\)
\(400 = 144 + PQ^2\)
\(PQ^2 = 400 - 144\)
\(PQ^2 = 256\)
\(PQ = \sqrt{256} = 16\) cm.

Karena PQ = PR, maka PR = 16 cm.

Layang-layang OQRP dibentuk oleh dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu \(\Delta OQP\) dan \(\Delta ORP\) (jika R juga titik singgung dari P).
Namun, deskripsi soal menyebutkan PR dan QR adalah garis singgung.

Mari kita gunakan interpretasi yang paling umum untuk layang-layang yang dibentuk oleh garis singgung:
*   O adalah pusat lingkaran.
*   Q dan R adalah titik-titik singgung dari titik P ke lingkaran.
*   OQ = OR = jari-jari = 12 cm.
*   PQ = PR (garis singgung dari satu titik ke lingkaran sama panjang).
*   Segitiga OQP siku-siku di Q.
*   Segitiga ORP siku-siku di R.
*   Sudut \(\angle OQP = \angle ORP = 90^{\circ}\).
*   Segiempat OQRP adalah layang-layang.

Untuk menghitung luas layang-layang, kita perlu panjang diagonalnya, yaitu OP dan QR.
Kita perlu informasi tambahan untuk menemukan OP atau QR, atau kita perlu mengklarifikasi arti OR=20 cm.

Jika OR=20 cm *bukan* jari-jari, tetapi sisi dari layang-layang, ini juga membingungkan karena dalam layang-layang OQRP, sisi-sisinya adalah OQ, QP, PR, RO.

Asumsi yang paling mungkin: P adalah titik di luar lingkaran, O adalah pusat, Q adalah titik singgung, dan OP = 20 cm. Maka OQ = 12 cm (jari-jari).

Dalam layang-layang OQRP, diagonalnya adalah OP dan QR.
Kita sudah punya OP = 20 cm.
Untuk mencari QR, kita perlu mencari tinggi dari Q ke OP di \(\Delta OQP\) (misalkan titik potongnya T), lalu QR = 2 * QT.

Luas \(\Delta OQP = \frac{1}{2} \times OQ \times PQ = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96\) cm².
Juga, Luas \(\Delta OQP = \frac{1}{2} \times OP \times QT = \frac{1}{2} \times 20 \times QT = 10 	imes QT\).
Jadi, \(10 	imes QT = 96\), \(QT = 9.6\) cm.

QR = 2 * QT = 2 * 9.6 = 19.2 cm.

Luas layang-layang OQRP = Luas \(\Delta OQP\) + Luas \(\Delta ORP\).
Karena \(\Delta OQP \cong \Delta ORP\) (sisi-sisi sama: OQ=OR, PQ=PR, OP=OP), maka Luas layang-layang = 2 * Luas \(\Delta OQP\).

Luas layang-layang OQRP = 2 * 96 = 192 cm².





Revisi berdasarkan deskripsi yang lebih ketat:
"PR dan QR adalah garis singgung lingkaran dengan lingkaran yang berpusat di O."
Ini berarti:
*   O adalah pusat lingkaran.
*   Q adalah titik singgung dari garis PR ke lingkaran.
*   R adalah titik singgung dari garis QR ke lingkaran.
*   OQ adalah jari-jari, dan \(\angle OQP = 90^{\circ}\).
*   OR adalah jari-jari, dan \(\angle ORQ = 90^{\circ}\).
*   OQ = OR = 12 cm.
*   Nilai OR=20 cm dalam soal membingungkan. Asumsikan ini adalah OP=20 cm (jarak dari pusat ke titik P).

Jika OP = 20 cm dan OQ = 12 cm:
*   PQ = \(\sqrt{OP^2 - OQ^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\) cm.
*   Karena PR dan QR adalah garis singgung dari P ke lingkaran (yang seharusnya dari satu titik P ke dua titik singgung Q dan R), maka PR = PQ = 16 cm.

Layang-layang OQRP dibentuk oleh \(\Delta OQP\) dan \(\Delta ORP\) jika P adalah titik bersama dari dua garis singgung PQ dan PR, dan Q serta R adalah titik singgungnya. Dalam kasus ini, OQ = OR (jari-jari).

Jika OR=20cm adalah informasi yang benar, dan OQ=12cm adalah jari-jari, maka OR tidak bisa menjadi jari-jari juga. Maka OQ dan OR tidak bisa sama.

Mari kita pertimbangkan kembali skenario:
*   O adalah pusat.
*   OQ adalah jari-jari = 12 cm.
*   QR adalah garis singgung di titik Q.
*   PR adalah garis singgung di titik R.

Ini berarti OQ \(\perp\) QR dan OR \(\perp\) PR.
Juga, OQ = OR = jari-jari = 12 cm.

Jika OQ=12 dan OR=20, ini tidak konsisten dengan OQ dan OR menjadi jari-jari. 

Asumsi yang paling masuk akal berdasarkan konteks geometri lingkaran dan garis singgung yang membentuk layang-layang adalah:

1.  O adalah pusat lingkaran.
2.  Q dan R adalah titik-titik singgung pada lingkaran.
3.  PQ dan PR adalah garis singgung dari satu titik P ke lingkaran.
4.  OQ = OR = jari-jari = 12 cm.
5.  OP adalah jarak dari pusat ke titik P, dan OP = 20 cm.

Dalam layang-layang OQRP, diagonalnya adalah OP dan QR.

Kita sudah menghitung PQ = 16 cm.
Luas layang-layang OQRP = 2 * Luas \(\Delta OQP\)
Luas \(\Delta OQP = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi = \frac{1}{2} \times OQ \times PQ = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96\) cm².

Luas Layang-layang OQRP = 2 * 96 = 192 cm².