Pada interval 0<=x<=20, luas daerah di bawah kurva y=x^2

k = 40/3

Pembahasan

Diketahui:
Interval: 0 ≤ x ≤ 20
Kurva: y = x²
Garis: y = kx

Luas daerah di bawah kurva y=x² dan di atas garis y=kx sama dengan luas daerah di atas kurva y=x² dan di bawah garis y=kx.

Ini berarti titik potong antara y=x² dan y=kx harus berada di dalam interval atau di batas interval, dan area di kedua sisi titik potong tersebut simetris dalam artian tertentu atau memiliki nilai yang sama.

Mari kita cari titik potong:
x² = kx
x² - kx = 0
x(x - k) = 0

Titik potongnya adalah x = 0 dan x = k.
Karena intervalnya adalah 0 ≤ x ≤ 20, maka 0 ≤ k ≤ 20.

Luas daerah 1 (di bawah kurva y=x² dan di atas garis y=kx) adalah:
Integral dari kx ke x² dari 0 sampai k:
∫[0, k] (x² - kx) dx
= [x³/3 - kx²/2] dari 0 sampai k
= (k³/3 - k(k²)/2) - (0³/3 - k(0)²/2)
= k³/3 - k³/2
= (2k³ - 3k³)/6
= -k³/6

Karena luas harus positif, kita ambil nilai absolutnya: | -k³/6 | = k³/6.

Luas daerah 2 (di atas kurva y=x² dan di bawah garis y=kx) adalah:
Integral dari x² ke kx dari 0 sampai k:
∫[0, k] (kx - x²) dx
= [kx²/2 - x³/3] dari 0 sampai k
= (k(k²)/2 - k³/3) - (k(0)²/2 - 0³/3)
= k³/2 - k³/3
= (3k³ - 2k³)/6
= k³/6

Soal menyatakan bahwa luas daerah 1 sama dengan luas daerah 2.
Luas 1 = Luas 2
k³/6 = k³/6

Ini berarti persamaan tersebut berlaku untuk semua nilai k selama k berada dalam interval 0 ≤ k ≤ 20.
Namun, konteks soal ini biasanya mengacu pada pembagian area oleh garis y=kx, yang mana titik potongnya adalah x=k. Jika luas di bawah kurva antara 0 dan k sama dengan luas di atas kurva antara 0 dan k, maka harus ada titik potong lain atau sifat khusus.

Mari kita pertimbangkan kembali pernyataan: "luas daerah di bawah kurva y=x² dan di atas garis y=kx sama dengan luas daerah di atas kurva y=x² dan di bawah garis y =kx".
Ini berarti integral dari 0 sampai k dari (x² - kx) harus sama dengan integral dari 0 sampai k dari (kx - x²).

∫[0, k] (x² - kx) dx = ∫[0, k] (kx - x²) dx

Kita sudah menghitung:
∫[0, k] (x² - kx) dx = -k³/6
∫[0, k] (kx - x²) dx = k³/6

Jadi, -k³/6 = k³/6.
Ini hanya mungkin jika k³/6 = 0, yang berarti k = 0.

Namun, jika k = 0, garisnya adalah y = 0, dan luasnya adalah 0.
Mari kita periksa lagi. Pernyataan tersebut menyiratkan bahwa garis y=kx membagi area di bawah kurva y=x² menjadi dua bagian yang sama dari x=0 hingga x=k.

Jika kita melihat interval 0 ≤ x ≤ 20, dan titik potongnya adalah x=0 dan x=k.
Luas total antara kurva y=x² dan garis y=kx dari 0 sampai k adalah selisih dari dua integral tersebut.
Area_total = | ∫[0, k] (x² - kx) dx | = k³/6
Area_total = | ∫[0, k] (kx - x²) dx | = k³/6

Pernyataan soal adalah:
Luas(y=x² di atas y=kx) = Luas(y=kx di atas y=x²)

Ini berarti integral dari 0 sampai k dari (x² - kx) harus sama dengan integral dari 0 sampai k dari (kx - x²).
Ini terjadi jika k³/6 = k³/6, yang berarti k bisa berapa saja.

Namun, ada kemungkinan interpretasi lain: luas dari 0 sampai k dari y=x² sama dengan luas dari k sampai 20 dari y=kx, atau sebaliknya. Atau luas total dari 0 sampai 20 di bawah y=x² sama dengan luas total dari 0 sampai 20 di bawah y=kx.

Mari kita pertimbangkan kembali arti soal: "luas daerah di bawah kurva y=x² dan di atas garis y=kx sama dengan luas daerah di atas kurva y=x² dan di bawah garis y =kx".
Ini berarti bahwa garis y=kx membagi area antara kurva y=x² dan sumbu x (atau garis lain) menjadi dua bagian yang sama.

Jika k>0, maka garis y=kx berada di atas kurva y=x² untuk x < k dan di bawah kurva untuk x > k.

Kasus 1: Titik potong x=k berada di dalam interval (0, 20).
Luas 1: ∫[0, k] (kx - x²) dx = k³/6
Luas 2: ∫[k, 20] (kx - x²) dx

Atau,
Luas 1: ∫[0, k] (x² - kx) dx = -k³/6 (jika k>0, ini negatif, jadi luasnya adalah k³/6)
Luas 2: ∫[k, 20] (x² - kx) dx

Kita perlu klarifikasi area yang dimaksud. Asumsi paling umum untuk soal seperti ini adalah bahwa garis y=kx membagi area yang dibatasi oleh kurva y=x² dan sumbu x (atau garis vertikal) menjadi dua bagian sama besar.

Jika garis y=kx membagi area di bawah kurva y=x² dari x=0 hingga x=20 menjadi dua bagian yang sama:
Total area di bawah kurva y=x² dari 0 sampai 20:
∫[0, 20] x² dx = [x³/3] dari 0 sampai 20 = 20³/3 - 0³/3 = 8000/3.

Jika garis y=kx membagi area ini menjadi dua sama besar, maka area di bawah garis y=kx dari 0 sampai 20 harus sama dengan area di bawah kurva y=x² dari 0 sampai 20.
Ini berarti ∫[0, 20] kx dx = ∫[0, 20] x² dx
[kx²/2] dari 0 sampai 20 = 8000/3
k(20²)/2 - 0 = 8000/3
k(400)/2 = 8000/3
200k = 8000/3
k = (8000/3) / 200
k = 8000 / 600
k = 80 / 6
k = 40 / 3

Namun, ini jika garis membagi area di bawah kurva. Soal menyatakan perbandingan luas di sekitar titik potong.

Kembali ke interpretasi awal: Luas di bawah kurva y=x² dan di atas y=kx (dari 0 sampai k) = Luas di atas kurva y=x² dan di bawah y=kx (dari 0 sampai k).
Ini berarti ∫[0, k] (x² - kx) dx = ∫[0, k] (kx - x²) dx.
Kita dapatkan -k³/6 = k³/6.
Ini hanya benar jika k=0, yang tidak memberikan luas.

Ada kemungkinan interpretasi lain: Garis y=kx membagi daerah yang dibatasi oleh y=x² dan garis x=20 (dan sumbu x) menjadi dua bagian yang sama.

Mari kita asumsikan bahwa k adalah titik potong selain 0, yaitu k berada di antara 0 dan 20.
Dan luas area 1 (antara 0 dan k, di bawah kurva, di atas garis) sama dengan luas area 2 (antara k dan 20, di atas kurva, di bawah garis).

Luas 1 = ∫[0, k] (x² - kx) dx = -k³/6 (kita ambil nilai absolutnya k³/6)
Luas 2 = ∫[k, 20] (kx - x²) dx
= [kx²/2 - x³/3] dari k sampai 20
= (k(20²)/2 - 20³/3) - (k(k²)/2 - k³/3)
= (k * 400 / 2 - 8000/3) - (k³/2 - k³/3)
= (200k - 8000/3) - (k³/6)

Menyamakan Luas 1 dan Luas 2:
k³/6 = 200k - 8000/3 - k³/6
2 * k³/6 = 200k - 8000/3
k³/3 = 200k - 8000/3

Kalikan dengan 3:
k³ = 600k - 8000
k³ - 600k + 8000 = 0

Ini adalah persamaan kubik yang sulit dipecahkan secara manual.

Mari kita lihat kembali soalnya: "Pada interval 0<=x<=20, luas daerah di bawah kurva y=x^2 dan di atas garis y=kx sama dengan luas daerah di atas kurva y=x^2 dan di bawah garis y =kx".
Ini sangat mungkin merujuk pada pembagian area yang dibatasi oleh y=x² dan garis x=20 menjadi dua bagian yang sama oleh garis y=kx.

Artinya, integral dari 0 sampai 20 dari x² harus sama dengan integral dari 0 sampai 20 dari kx.
Ini adalah interpretasi yang paling masuk akal.

∫[0, 20] x² dx = 8000/3
∫[0, 20] kx dx = k * [x²/2] dari 0 sampai 20 = k * (20²/2) = k * (400/2) = 200k.

Menyamakan kedua luas ini:
8000/3 = 200k
k = (8000/3) / 200
k = 8000 / 600
k = 80 / 6
k = 40/3.

Nilai k = 40/3 berada dalam interval [0, 20] karena 40/3 ≈ 13.33.

Jadi, nilai k adalah 40/3.