Sebuah pabrik tekstil memproduksi dua jenis tekstil yang

a. Nilai terbesar y adalah 20 (saat x=0), nilai terbesar x adalah 10 (saat y=0). b. Nilai x dan y agar x=y adalah sekitar 7.81.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah $y = 20 - x^2/5$. Ini adalah persamaan kuadrat yang membuka ke bawah, sehingga memiliki nilai maksimum.
a. Untuk menentukan nilai terbesar x dan y yang dapat diproduksi, kita perlu mencari titik puncak dari parabola tersebut. Dalam konteks produksi, x dan y harus bernilai non-negatif.
Nilai terbesar y terjadi ketika turunan pertama terhadap x adalah nol:
$dy/dx = -2x/5$
Setel $dy/dx = 0$:
$-2x/5 = 0$
$x = 0$
Ketika $x = 0$, $y = 20 - 0^2/5 = 20$.
Namun, perlu diperhatikan bahwa pabrik memproduksi dua jenis tekstil, x dan y. Jika kita menganggap x adalah salah satu jenis dan y adalah jenis lainnya, dan y bergantung pada x, maka kita mencari nilai maksimum y. Nilai terbesar y adalah 20 ketika x=0. Jika kita juga ingin mencari nilai terbesar x yang mungkin, kita perlu mempertimbangkan batasan dari produksi. Jika kita mengasumsikan bahwa y tidak boleh negatif, maka $20 - x^2/5 	extgreater= 0$, yang berarti $x^2/5 	extless= 20$, atau $x^2 	extless= 100$. Maka, nilai terbesar x adalah 10 (dengan asumsi x juga non-negatif).
Jadi, nilai terbesar y adalah 20 (ketika x=0), dan nilai terbesar x adalah 10 (ketika y=0).
b. Untuk mencari besar nilai x dan y agar diperoleh x=y, kita substitusikan y=x ke dalam persamaan:
$x = 20 - x^2/5$
Kalikan kedua sisi dengan 5:
$5x = 100 - x^2$
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$x^2 + 5x - 100 = 0$
Gunakan rumus kuadrat untuk mencari x:
$x = [-b +/- 
sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a$
Di sini, a=1, b=5, c=-100.
$x = [-5 +/- 
sqrt(5^2 - 4*1*(-100))] / (2*1)$
$x = [-5 +/- 
sqrt(25 + 400)] / 2$
$x = [-5 +/- 
sqrt(425)] / 2$
$x = [-5 +/- 5
sqrt(17)] / 2$
Karena jumlah produksi tidak mungkin negatif, kita ambil nilai positif:
$x = (-5 + 5
sqrt(17)) / 2$
$x 
approx (-5 + 5*4.123) / 2$
$x 
approx (-5 + 20.615) / 2$
$x 
approx 15.615 / 2$
$x 
approx 7.81$
Karena x = y, maka $y 
approx 7.81$.
Jadi, nilai terbesar x adalah 10, dan nilai terbesar y adalah 20. Nilai x dan y agar diperoleh x=y adalah sekitar 7.81.