Pada interval 4<=x<=6, grafik fungsi

Grafik fungsi akan naik dan cekung ke atas.

Pembahasan

Untuk menentukan perilaku grafik fungsi f(x) = 1/2x^4 - 6x^3 + 27x^2 - 54x pada interval 4 <= x <= 6, kita perlu menganalisis turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.

Turunan pertama (f'(x)) memberikan informasi tentang kemiringan grafik (naik atau turun).
 f'(x) = d/dx (1/2x^4 - 6x^3 + 27x^2 - 54x)
 f'(x) = 2x^3 - 18x^2 + 54x - 54

Untuk mencari titik kritis, kita set f'(x) = 0:
 2x^3 - 18x^2 + 54x - 54 = 0
 x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = 0

Perhatikan bahwa persamaan ini adalah bentuk binomial yang dikuadratkan:
 (x - 3)^3 = 0
 Jadi, x = 3 adalah satu-satunya titik kritis.

Sekarang kita evaluasi f'(x) pada interval [4, 6]:
 f'(4) = 2(4)^3 - 18(4)^2 + 54(4) - 54 = 2(64) - 18(16) + 216 - 54 = 128 - 288 + 216 - 54 = 2.
 f'(5) = 2(5)^3 - 18(5)^2 + 54(5) - 54 = 2(125) - 18(25) + 270 - 54 = 250 - 450 + 270 - 54 = 16.
 f'(6) = 2(6)^3 - 18(6)^2 + 54(6) - 54 = 2(216) - 18(36) + 324 - 54 = 432 - 648 + 324 - 54 = 54.

Karena f'(x) > 0 pada interval [4, 6], maka grafik fungsi f(x) akan naik pada interval tersebut.

Turunan kedua (f''(x)) memberikan informasi tentang kecekungan grafik (cekung ke atas atau ke bawah).
 f''(x) = d/dx (2x^3 - 18x^2 + 54x - 54)
 f''(x) = 6x^2 - 36x + 54

Untuk mencari titik belok, kita set f''(x) = 0:
 6x^2 - 36x + 54 = 0
 x^2 - 6x + 9 = 0
 (x - 3)^2 = 0
 Jadi, x = 3 adalah satu-satunya titik yang mungkin menjadi titik belok.

Sekarang kita evaluasi f''(x) pada interval [4, 6]:
 f''(4) = 6(4)^2 - 36(4) + 54 = 6(16) - 144 + 54 = 96 - 144 + 54 = 6.
 f''(5) = 6(5)^2 - 36(5) + 54 = 6(25) - 180 + 54 = 150 - 180 + 54 = 24.
 f''(6) = 6(6)^2 - 36(6) + 54 = 6(36) - 216 + 54 = 216 - 216 + 54 = 54.

Karena f''(x) > 0 pada interval [4, 6], maka grafik fungsi f(x) akan cekung ke atas pada interval tersebut.

Kesimpulan:
Pada interval 4 <= x <= 6, grafik fungsi f(x) = 1/2x^4 - 6x^3 + 27x^2 - 54x akan **naik dan cekung ke atas**.