Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di bawah

Daerah penyelesaian adalah irisan area di atas parabola y = x² - 3x - 4 dan di bawah garis y = 3 - 2x.

Pembahasan

Untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan y ≥ x² - 3x - 4 dan y ≤ 3 - 2x, kita perlu menganalisis kedua pertidaksamaan tersebut.

Pertidaksamaan 1: y ≥ x² - 3x - 4
Ini adalah pertidaksamaan kuadrat yang menggambarkan daerah di atas atau pada parabola y = x² - 3x - 4. Untuk menggambar parabola ini, kita cari titik puncak dan akar-akarnya. Akar-akarnya dapat dicari dengan memfaktorkan atau menggunakan rumus kuadratik. Diskriminan D = (-3)² - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25. Akar-akarnya adalah x = (3 ± √25) / 2, yaitu x = 4 dan x = -1. Titik puncak memiliki absis x = -b/2a = -(-3)/(2*1) = 3/2. Ordinat titik puncak y = (3/2)² - 3(3/2) - 4 = 9/4 - 9/2 - 4 = 9/4 - 18/4 - 16/4 = -25/4. Jadi, titik puncaknya adalah (3/2, -25/4).

Pertidaksamaan 2: y ≤ 3 - 2x
Ini adalah pertidaksamaan linier yang menggambarkan daerah di bawah atau pada garis y = 3 - 2x. Untuk menggambar garis ini, kita cari dua titik. Jika x = 0, maka y = 3. Jika y = 0, maka 0 = 3 - 2x, sehingga 2x = 3 dan x = 3/2. Jadi, garis ini melewati titik (0, 3) dan (3/2, 0).

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan ini adalah irisan dari daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan. Artinya, kita mencari daerah pada bidang koordinat yang berada di atas atau pada parabola y = x² - 3x - 4 DAN di bawah atau pada garis y = 3 - 2x.
Untuk menemukan titik potong antara parabola dan garis, kita samakan kedua persamaan:
x² - 3x - 4 = 3 - 2x
x² - 3x + 2x - 4 - 3 = 0
x² - x - 7 = 0
Menggunakan rumus kuadratik x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a:
x = [1 ± √((-1)² - 4(1)(-7))] / 2(1)
x = [1 ± √(1 + 28)] / 2
x = [1 ± √29] / 2
Titik potongnya adalah x ≈ (1 ± 5.385) / 2, yaitu x₁ ≈ -2.1925 dan x₂ ≈ 3.1925.
Untuk nilai y pada titik potong, kita substitusikan nilai x ke dalam persamaan garis y = 3 - 2x.
Untuk x₁ ≈ -2.1925, y₁ ≈ 3 - 2(-2.1925) = 3 + 4.385 = 7.385.
Untuk x₂ ≈ 3.1925, y₂ ≈ 3 - 2(3.1925) = 3 - 6.385 = -3.385.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah area yang dibatasi oleh parabola y = x² - 3x - 4 (di atasnya) dan garis y = 3 - 2x (di bawahnya), di antara kedua titik potong tersebut.