Pada kubus ABCDEFGH besar sudut antara garis AH dan bidang

arccos(√2 / √3) atau arctan(1/√2)

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut antara garis AH dan bidang diagonal BDHF pada kubus ABCDEFGH:

1. Identifikasi Garis dan Bidang:
Garis AH adalah diagonal ruang kubus.
Bidang BDHF adalah salah satu bidang diagonal kubus.

2. Cari Proyeksi Garis pada Bidang:
Proyeksi garis AH pada bidang BDHF adalah garis HF.

3. Tentukan Sudut:
Sudut yang dicari adalah sudut antara garis AH dan garis HF, yaitu sudut AHF.

4. Gunakan Sifat Kubus:
Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'.
Maka, panjang diagonal bidang (seperti HF) adalah a√2.
Panjang diagonal ruang (seperti AH) adalah a√3.
Dalam segitiga siku-siku AHF (siku-siku di F, karena AF tegak lurus bidang BDHF), kita memiliki:
- Sisi AF = a
- Sisi HF = a√2
- Sisi AH = a√3

Untuk mencari sudut AHF, kita bisa menggunakan trigonometri:
tan(∠AHF) = Sisi depan / Sisi samping = AF / HF = a / (a√2) = 1/√2

Atau, kita bisa melihatnya sebagai sudut antara diagonal ruang dan diagonal bidang yang berpotongan di satu titik. Dalam kubus, sudut antara diagonal ruang dan bidang diagonal yang memuatnya adalah 90 derajat jika bidang tersebut tidak memuat diagonal ruang tersebut. Namun, di sini AH dan BDHF tidak tegak lurus. 

Mari kita pertimbangkan segitiga siku-siku ADH. AH adalah hipotenusa. Dalam segitiga siku-siku ADH, sudut HAD adalah 45 derajat. Sudut AHB adalah 45 derajat. Sudut AHD adalah 45 derajat.

Untuk sudut antara garis AH dan bidang BDHF, kita perlu mencari sudut antara AH dan proyeksinya pada bidang BDHF, yaitu HF. Kita gunakan segitiga siku-siku AHF (siku-siku di F).

cos(∠AHF) = HF / AH = (a√2) / (a√3) = √2 / √3
∠AHF = arccos(√2 / √3)

Namun, pertanyaan ini seringkali mengacu pada sudut antara diagonal ruang dan diagonal bidang yang bertemu di satu titik sudut kubus. Misalnya, sudut antara AH dan HF. 

Dalam segitiga siku-siku AHF, dengan AF = a, HF = a√2, AH = a√3:
Kita bisa menggunakan sinus:
sin(∠AHF) = AF / AH = a / (a√3) = 1/√3
∠AHF = arcsin(1/√3)

Dalam konteks soal geometri kubus yang umum, jika ditanya sudut antara diagonal ruang dan bidang diagonal yang berpotongan, seringkali yang dimaksud adalah sudut antara diagonal ruang tersebut dengan diagonal bidang yang memotongnya di titik yang sama. Jika kita ambil titik A, maka diagonal ruangnya AH. Bidang diagonal yang melalui A dan memotong AH adalah ACGE atau ABFE. Tetapi BDHF tidak melalui A.

Mari kita perjelas titik potong. AH memotong bidang BDHF di titik H. Proyeksi A pada bidang BDHF adalah B (atau D). Jadi kita cari sudut antara AH dan BH (jika proyeksinya B) atau DH (jika proyeksinya D). Tapi proyeksi A pada bidang BDHF adalah titik B, karena AB tegak lurus bidang BDHF. Jadi sudutnya adalah ABH.

Dalam segitiga siku-siku ABH (siku-siku di B):
AB = a
BH = a√2
AH = a√3

tan(∠ABH) = AH / AB = (a√3) / a = √3  => ∠ABH = 60° (Ini sudut antara diagonal ruang dan rusuk)
tan(∠BAH) = BH / AB = (a√2) / a = √2  => ∠BAH = arctan(√2)

Jika proyeksi A pada bidang BDHF adalah titik B, maka sudut yang dicari adalah sudut ABH. Namun, proyeksi A pada bidang BDHF adalah B karena AB tegak lurus terhadap bidang BDHF.

Jadi, sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah sudut antara AH dan proyeksinya pada bidang BDHF, yaitu BH. Sudutnya adalah ∠ABH.

Dalam segitiga siku-siku ABH:
Tan (∠ABH) = AH / AB = (a√3) / a = √3
Jadi ∠ABH = 60 derajat.

Namun, jika kita melihat sudut antara AH dan bidang BDHF, kita harus mencari sudut antara AH dan proyeksinya pada bidang BDHF. Proyeksi A pada bidang BDHF adalah titik B, karena AB tegak lurus dengan semua garis di bidang BDHF yang melalui B (seperti BD, BF, BH). Jadi proyeksi A pada bidang BDHF adalah B. Dengan demikian, sudut yang dicari adalah sudut antara AH dan BH, yaitu ∠ABH.

Dalam segitiga siku-siku ABH (siku-siku di B):
Sisi AB = a (rusuk kubus)
Sisi BH = a√2 (diagonal bidang)
Sisi AH = a√3 (diagonal ruang)

Untuk mencari sudut ∠ABH:
tan(∠ABH) = Sisi depan / Sisi samping = AH / BH = (a√3) / (a√2) = √3 / √2
∠ABH = arctan(√3 / √2)

Jika kita gunakan cos:
cos(∠ABH) = Sisi samping / Sisi miring = BH / AH = (a√2) / (a√3) = √2 / √3
∠ABH = arccos(√2 / √3) ≈ 35.26°

Jika kita gunakan sin:
sin(∠ABH) = Sisi depan / Sisi miring = AH / BH = a / (a√2) = 1/√2 
--> Ini salah karena AH bukan sisi depan dari sudut ABH, AH adalah sisi miring jika sudutnya BAH.

Mari kita ulang. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dan proyeksinya pada bidang tersebut.
Proyeksi titik A pada bidang BDHF adalah titik B, karena AB tegak lurus dengan bidang BDHF.
Garis AH.
Proyeksi garis AH pada bidang BDHF adalah garis BH.
Jadi, sudut yang dicari adalah sudut antara AH dan BH, yaitu ∠AHB.

Perhatikan segitiga siku-siku ABH (siku-siku di B):
AB = a
BH = a√2
AH = a√3

Untuk mencari sudut ∠AHB:
cos(∠AHB) = Sisi samping / Sisi miring = BH / AH = (a√2) / (a√3) = √2 / √3
∠AHB = arccos(√2 / √3)

Nilai eksaknya adalah arccos(√2 / √3). Jika diperlukan dalam derajat, nilainya sekitar 35.26 derajat.

Jika soal mengacu pada sudut antara diagonal ruang dan diagonal bidang yang berpotongan di satu titik sudut, misalnya AH dan BDHF, maka kita perlu mencari sudut antara AH dan salah satu diagonal bidang yang bertemu di H (yaitu HF atau HD). Mari kita ambil HF.

Perhatikan segitiga siku-siku AHF (siku-siku di F):
AF = a
HF = a√2
AH = a√3

tan(∠AHF) = AF / HF = a / (a√2) = 1/√2
∠AHF = arctan(1/√2) ≈ 35.26°

Nilai ini sama dengan arccos(√2 / √3).

Jadi, besar sudut antara garis AH dan bidang diagonal BDHF adalah arccos(√2 / √3) atau arctan(1/√2).