Pada kubus ABCDEFGH, titik P pada AD dan titik Q pada EH

Jarak A ke bidang BPQF adalah 6\sqrt{3} cm.

Pembahasan

Dalam kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk s = 12 \sqrt{3} cm, titik P pada AD dan titik Q pada EH sehingga AP = EQ = 12 cm.
Kita ingin mencari jarak dari titik A ke bidang BPQF.
Bidang BPQF dibentuk oleh titik B, P, Q, dan F.
Koordinat titik-titik dapat ditetapkan sebagai berikut:
A = (0, 0, 0)
B = (s, 0, 0) = (12\sqrt{3}, 0, 0)
C = (s, s, 0) = (12\sqrt{3}, 12\sqrt{3}, 0)
D = (0, s, 0) = (0, 12\sqrt{3}, 0)
E = (0, 0, s) = (0, 0, 12\sqrt{3})
F = (s, 0, s) = (12\sqrt{3}, 0, 12\sqrt{3})
G = (s, s, s) = (12\sqrt{3}, 12\sqrt{3}, 12\sqrt{3})
H = (0, s, s) = (0, 12\sqrt{3}, 12\sqrt{3})

Titik P pada AD, sehingga P memiliki koordinat (0, y_P, 0). Karena AP = 12, maka P = (0, 12, 0).
Titik Q pada EH, sehingga Q memiliki koordinat (0, s, z_Q). Karena EQ = 12, dan E = (0, 0, s), H = (0, s, s), maka Q = (0, 12, 12\sqrt{3}-12) atau Q=(0, y_Q, s) dengan EQ = 12 maka Q=(0, 12, s) dan E=(0,0,s) Q=(0,12,12*sqrt(3)).
Mari kita perbaiki koordinat titik P dan Q.
P pada AD, AD adalah sumbu y dari A=(0,0,0) ke D=(0,s,0). Jadi P=(0, 12, 0).
Q pada EH, EH adalah rusuk yang sejajar AD dan BC. EH membentang dari E=(0,0,s) ke H=(0,s,s). Titik Q pada EH dengan EQ=12. Maka Q=(0, 0, s-12) = (0, 0, 12\sqrt{3}-12).

Sekarang kita tinjau bidang BPQF. Titik-titik tersebut adalah:
B = (12\sqrt{3}, 0, 0)
P = (0, 12, 0)
Q = (0, 0, 12\sqrt{3}-12)
F = (12\sqrt{3}, 0, 12\sqrt{3})

Untuk mencari jarak dari titik A=(0,0,0) ke bidang BPQF, kita dapat menggunakan rumus jarak titik ke bidang.
Persamaan bidang yang melalui B, P, Q, F. Kita perlu mencari vektor normal bidang ini.

Vektor BP = P - B = (0 - 12\sqrt{3}, 12 - 0, 0 - 0) = (-12\sqrt{3}, 12, 0)
Vektor BQ = Q - B = (0 - 12\sqrt{3}, 0 - 0, 12\sqrt{3}-12 - 0) = (-12\sqrt{3}, 0, 12\sqrt{3}-12)

Vektor normal n = BP \times BQ
n = det([[i, j, k], [-12\sqrt{3}, 12, 0], [-12\sqrt{3}, 0, 12\sqrt{3}-12]])
n = i(12(12\sqrt{3}-12) - 0) - j((-12\sqrt{3})(12\sqrt{3}-12) - 0) + k(0 - 12(-12\sqrt{3}))
n = i(144\sqrt{3}-144) - j(-432 + 144\sqrt{3}) + k(144\sqrt{3})
n = (144\sqrt{3}-144)i + (432 - 144\sqrt{3})j + 144\sqrt{3}k

Persamaan bidang adalah n \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0.
Gunakan titik B(12\sqrt{3}, 0, 0).
(144\sqrt{3}-144)x + (432 - 144\sqrt{3})y + 144\sqrt{3}z = (144\sqrt{3}-144)(12\sqrt{3}) + (432 - 144\sqrt{3})(0) + 144\sqrt{3}(0)
(144\sqrt{3}-144)x + (432 - 144\sqrt{3})y + 144\sqrt{3}z = (144\sqrt{3}-144)(12\sqrt{3})
(144\sqrt{3}-144)x + (432 - 144\sqrt{3})y + 144\sqrt{3}z = 144 \times 36 - 144 \times 12\sqrt{3}
(144\sqrt{3}-144)x + (432 - 144\sqrt{3})y + 144\sqrt{3}z = 5184 - 1728\sqrt{3}

Bagi dengan 144:
(\sqrt{3}-1)x + (3 - \sqrt{3})y + \sqrt{3}z = 36 - 12\sqrt{3}

Jarak dari A(0,0,0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah |D| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}.
Di sini, Ax + By + Cz - (36 - 12\sqrt{3}) = 0
A = \sqrt{3}-1
B = 3 - \sqrt{3}
C = \sqrt{3}
D = -(36 - 12\sqrt{3})

A^2 = (\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}
B^2 = (3 - \sqrt{3})^2 = 9 - 6\sqrt{3} + 3 = 12 - 6\sqrt{3}
C^2 = (\sqrt{3})^2 = 3

A^2 + B^2 + C^2 = (4 - 2\sqrt{3}) + (12 - 6\sqrt{3}) + 3 = 19 - 8\sqrt{3}

Ini terlihat rumit. Mari kita coba pendekatan lain.
Perhatikan bahwa bidang BPQF sejajar dengan bidang ADGF.
Jarak dari titik A ke bidang BPQF. Bidang BPQF sejajar dengan bidang ADHE dan BCGF. Namun, ini tidak benar.

Mari kita periksa kembali definisi bidang BPQF. P pada AD, Q pada EH.
B = (s, 0, 0)
P = (0, 12, 0)
Q = (0, 0, s-12)
F = (s, 0, s)

Bidang BPQF. Perhatikan bahwa titik B dan F memiliki koordinat y=0. Titik P memiliki koordinat x=0. Titik Q memiliki koordinat x=0.

Mari kita coba sudut pandang lain. Jarak dari A ke bidang BPQF.
Perhatikan segiempat BPQF. Sifat-sifatnya?
BP tidak sejajar FQ.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam interpretasi atau soal memerlukan geometri ruang yang lebih canggih.
Namun, jika kita perhatikan strukturnya, P dan Q berada di sisi yang bersebelahan dengan A (AD dan EH).

Mari kita cari jarak dari A ke salah satu garis di bidang, misalnya garis BP.
Persamaan garis BP: B + t(P-B) = (s, 0, 0) + t(-s, 12, 0) = (s - ts, 12t, 0).
Jarak A ke garis BP. Vektor AP = (0, 12, 0). Vektor AB = (s, 0, 0).

Jika kita melihat kubus dari atas (melalui sumbu z), A=(0,0), D=(0,s), H=(s,s), E=(s,0). P pada AD, AP=12. P=(0,12). Q pada EH, EQ=12. E=(s,0), H=(s,s). Q=(s, 12).

Ini adalah kubus, jadi kita bekerja dalam 3D.

Mari kita cari persamaan bidang BPQF.
Untuk mencari jarak titik ke bidang, kita memerlukan persamaan bidang. Seringkali ada cara simplifikasi.

Perhatikan bidang ABFE. Titik P pada AD, Q pada EH. BPQF bukanlah bidang datar yang sederhana.

Pada kubus ABCDEFGH, P pada AD sehingga AP = 12. Q pada EH sehingga EQ = 12.
Rusuk = s = 12 \sqrt{3}.

A=(0,0,0).
D=(0, s, 0).
E=(0, 0, s).
H=(0, s, s).
P=(0, 12, 0).
Q=(0, 0, s-12) = (0, 0, 12\sqrt{3}-12).

Sekarang lihat titik B=(s,0,0) dan F=(s,0,s).
Bidang BPQF:
Titik B, P, Q, F.
Perhatikan bahwa titik P dan Q terletak pada bidang x=0.
Titik B dan F terletak pada bidang y=0.
Ini tidak membentuk bidang datar tunggal dengan persamaan sederhana.

Mungkin ada kesalahan interpretasi soal atau gambar yang hilang.

Namun, jika kita menginterpretasikan soal sebagai jarak dari titik A ke bidang yang dibentuk oleh titik B, P, Q, F, kita perlu memastikan titik-titik ini membentuk bidang.

P pada AD, AP = 12. P=(0, 12, 0).
Q pada EH, EQ = 12. E=(0, 0, s), H=(0, s, s). Q=(0, 0, s-12) atau Q=(0, 12, s). Jika Q pada EH, maka koordinat x-nya sama dengan E dan H, yaitu 0. Jadi Q=(0, y_Q, z_Q). Karena Q pada EH, maka jarak EQ=12. E=(0,0,s). Q=(0, y_Q, z_Q). 
Jika Q pada rusuk EH, maka koordinatnya adalah (0, y, s) dengan 0 <= y <= s. Jarak EQ = sqrt((0-0)^2 + (y-0)^2 + (s-s)^2) = sqrt(y^2) = y. Jadi y=12. Q = (0, 12, s). E=(0,0,s). H=(0,s,s). Maka Q berada di antara E dan H jika y antara 0 dan s. Ya, 12 < 12\sqrt{3}.
Jadi P=(0, 12, 0) dan Q=(0, 12, s).

Sekarang kita tinjau bidang BPQF.
B = (s, 0, 0)
P = (0, 12, 0)
Q = (0, 12, s)
F = (s, 0, s)

Perhatikan bahwa vektor PQ = Q - P = (0, 0, s).
Vektor BF = F - B = (0, 0, s).
Karena PQ sejajar dan sama dengan BF, maka BPQF adalah jajargenjang.

Untuk mencari jarak dari A=(0,0,0) ke bidang BPQF.
Kita bisa mencari persamaan bidang yang melalui B, P, Q.

Vektor BP = P - B = (0-s, 12-0, 0-0) = (-s, 12, 0)
Vektor BQ = Q - B = (0-s, 12-0, s-0) = (-s, 12, s)

Vektor normal n = BP \times BQ
n = det([[i, j, k], [-s, 12, 0], [-s, 12, s]])
n = i(12s - 0) - j(-s^2 - 0) + k(-12s - (-12s))
n = 12si + s^2j + 0k
n = (12s, s^2, 0)

Persamaan bidang: n \cdot (x - x_B, y - y_B, z - z_B) = 0
12s(x - s) + s^2(y - 0) + 0(z - 0) = 0
12sx - 12s^2 + s^2y = 0
12sx + s^2y = 12s^2
Bagi dengan s (karena s bukan nol):
12x + sy = 12s

Jarak dari A(0,0,0) ke bidang 12x + sy - 12s = 0.
Jarak = |12(0) + s(0) - 12s| / \sqrt{12^2 + s^2 + 0^2}
Jarak = |-12s| / \sqrt{144 + s^2}
Jarak = 12s / \sqrt{144 + s^2}

Masukkan s = 12\sqrt{3}.
Jarak = 12(12\sqrt{3}) / \sqrt{144 + (12\sqrt{3})^2}
Jarak = 144\sqrt{3} / \sqrt{144 + 144 \times 3}
Jarak = 144\sqrt{3} / \sqrt{144 + 432}
Jarak = 144\sqrt{3} / \sqrt{576}
Jarak = 144\sqrt{3} / 24
Jarak = 6\sqrt{3}

Periksa kembali interpretasi titik Q. Q pada EH. E=(0,0,s), H=(0,s,s). P pada AD. A=(0,0,0), D=(0,s,0). AP=12 => P=(0,12,0). EQ=12. E=(0,0,s). Q=(0,y,s). EQ = sqrt((0-0)^2 + (y-0)^2 + (s-s)^2) = y. Jadi y=12. Q=(0,12,s).

Namun, ada alternatif lain untuk posisi Q pada EH.
EH adalah rusuk dari E ke H. E=(0,0,s), H=(0,s,s). Jika Q pada EH, maka Q=(0, y_Q, s) dimana 0 <= y_Q <= s.
Apabila Q pada rusuk EH dengan EQ = 12, maka jarak dari E ke Q adalah 12.
E = (0,0,s). Q = (0, y_Q, s). EQ = sqrt((0-0)^2 + (y_Q-0)^2 + (s-s)^2) = y_Q. Maka y_Q = 12. Q=(0, 12, s).

Jika interpretasi Q=(0, 0, s-12) adalah benar, maka:
E = (0, 0, s). Q = (0, 0, s-12). EQ = sqrt((0-0)^2 + (0-0)^2 + (s-12 - s)^2) = sqrt((-12)^2) = 12. Ini juga valid.
Mari gunakan Q=(0, 0, s-12).
B = (s, 0, 0)
P = (0, 12, 0)
Q = (0, 0, s-12)
F = (s, 0, s)

Vektor BP = P - B = (-s, 12, 0)
Vektor BQ = Q - B = (-s, 0, s-12)

Vektor normal n = BP \times BQ
n = det([[i, j, k], [-s, 12, 0], [-s, 0, s-12]])
n = i(12(s-12) - 0) - j(-s(s-12) - 0) + k(0 - (-12s))
n = i(12s - 144) + j(s^2 - 12s) + k(12s)
n = (12s - 144, s^2 - 12s, 12s)

Persamaan bidang: n \cdot (x - x_B, y - y_B, z - z_B) = 0
(12s - 144)(x - s) + (s^2 - 12s)(y - 0) + 12s(z - 0) = 0
(12s - 144)(x - s) + (s^2 - 12s)y + 12sz = 0
(12s - 144)x - s(12s - 144) + (s^2 - 12s)y + 12sz = 0
(12s - 144)x + (s^2 - 12s)y + 12sz = 12s^2 - 144s

Bagi dengan 12s (asumsi s!=0):
(1 - 12/s)x + (s/12 - 1)y + z = s - 12

Ini juga rumit. Mari kita coba lagi pendekatan geometris.

Jarak dari A ke bidang BPQF.
Bidang BPQF memotong kubus. rusuk s = 12 \sqrt{3}.
AP = 12. EQ = 12.

Jika kita melihat bidang dari sisi, mungkin ada kesamaan.

Perhatikan bahwa bidang BPQF sejajar dengan bidang diagonal CFH atau diagonal BGE.

Mungkin ada sifat simetri yang bisa dimanfaatkan.

Dalam kubus, jarak titik ke bidang bisa dihitung dengan volume tetrahedron.

Coba pikirkan bidang BPQF. P di AD, Q di EH. B di ABFE, F di ABFE.

P = (0, 12, 0)
Q = (0, 0, s-12)
B = (s, 0, 0)
F = (s, 0, s)

Perhatikan bahwa bidang ini memiliki komponen normalnya di arah x dan y. Tidak ada komponen z yang signifikan dari normal (kecuali kita memutar sistem koordinat).

Salah satu pendekatan adalah mencari proyeksi A pada bidang tersebut. Atau mencari tinggi tetrahedron ABPQ ke bidang BPQF.

Sebuah properti yang berguna: jika sebuah bidang memotong rusuk-rusuk kubus, jarak dari titik ke bidang dapat dihitung.

Mari kita tinjau bidang BPQF secara geometris. Titik P adalah 12 cm dari A pada AD. Titik Q adalah 12 cm dari E pada EH.
Jika kita memotong kubus dengan bidang yang melalui P, Q, dan sejajar dengan ABFE, maka bidang tersebut adalah PQRS di mana R dan S juga pada rusuk BC dan FG.

Bidang BPQF. B=(s,0,0), P=(0,12,0), Q=(0,0,s-12), F=(s,0,s).
Perhatikan bahwa titik B dan F berada pada bidang y=0. Titik P dan Q berada pada bidang x=0.

Jika kita melihat dari sisi, misalnya proyeksi ke bidang xz:
A(0,0), B(s,0), F(s,s), E(0,s). P(0,12), Q(0, s-12).
Bidang BPQF memotong rusuk AD di P dan EH di Q. Juga melalui B dan F.

Perhatikan bidang ABFE. P pada AD, Q pada EH. B, F pada bidang ini.
Jadi, bidang BPQF sebenarnya adalah bidang yang melalui garis BF dan titik P dan Q.
BF terletak pada bidang ABFE (y=0).
P terletak pada bidang ADHE (x=0).
Q terletak pada bidang ADHE (x=0).

Ini berarti BPQF tidak membentuk bidang tunggal kecuali P dan Q terletak pada garis yang sama atau sejajar BF.

Interpretasi soal: Jarak A ke bidang BPQF. Ini menyiratkan bahwa B, P, Q, F adalah titik-titik yang mendefinisikan sebuah bidang.

Jika P=(0,12,0) dan Q=(0,12,s), maka BPQF adalah jajargenjang.

Kembali ke persamaan bidang: 12x + sy = 12s.
Ini adalah bidang vertikal (normalnya horizontal).
Jarak dari A(0,0,0) ke 12x + sy - 12s = 0 adalah 12s / sqrt(144 + s^2) = 6 \sqrt{3}.

Mari kita cek apakah BPQF benar-benar bidang datar dengan persamaan ini.
Substitusikan titik P(0,12,0): 12(0) + s(12) = 12s. Benar.
Substitusikan titik Q(0,12,s): 12(0) + s(12) = 12s. Benar.
Substitusikan titik F(s,0,s): 12(s) + s(0) = 12s. Benar.

Jadi, persamaan bidangnya adalah 12x + sy = 12s, dengan s = 12\sqrt{3}.
12x + 12\sqrt{3}y = 12(12\sqrt{3})
x + \sqrt{3}y = 12\sqrt{3}.

Jarak dari A(0,0,0) ke bidang x + \sqrt{3}y - 12\sqrt{3} = 0.
Jarak = |0 + \sqrt{3}(0) - 12\sqrt{3}| / \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}
Jarak = |-12\sqrt{3}| / \sqrt{1 + 3}
Jarak = 12\sqrt{3} / \sqrt{4}
Jarak = 12\sqrt{3} / 2
Jarak = 6\sqrt{3}.

Hasil ini tampaknya konsisten dengan salah satu interpretasi titik Q dan perhitungan vektor.

Mari kita pastikan interpretasi Q. Q pada EH, EQ = 12. E=(0,0,s), H=(0,s,s).
Jika Q pada EH, maka koordinat x=0, koordinat z=s. Koordinat y bervariasi dari 0 hingga s.
Q = (0, y_Q, s).
EQ = sqrt((0-0)^2 + (y_Q-0)^2 + (s-s)^2) = y_Q. Jadi y_Q = 12. Q=(0, 12, s).
Ini adalah interpretasi yang digunakan.

Jika interpretasi Q=(0, 0, s-12) adalah benar, maka Q berada pada rusuk AE atau DH, bukan EH. EH membentang sejajar sumbu y pada x=0, z=s.

Jika Q terletak pada rusuk DH, D=(0,s,0), H=(0,s,s). Q=(0,s,z_Q). DQ=12. D=(0,s,0). Q=(0,s,z_Q). DQ = sqrt((0-0)^2 + (s-s)^2 + (z_Q-0)^2) = z_Q. Maka z_Q=12. Q=(0,s,12).
Namun Q pada EH.

Kemungkinan besar, interpretasi Q=(0,12,s) adalah yang benar untuk Q pada EH dengan jarak 12 dari E.

Hasilnya adalah 6 \sqrt{3}.

Konversi ke desimal untuk pemeriksaan:
s = 12 * 1.732 = 20.784.
Jarak = 6 * 1.732 = 10.392.

Mari kita cek pilihan jawaban yang mungkin ada jika ini soal pilihan ganda.