Pada pembagian suku banyak 8x^3+9x^2-9x+4 dengan (3x-p)

27/4

Pembahasan

Untuk mencari jumlah nilai-nilai p yang memenuhi, kita perlu menggunakan teorema sisa. Teorema Sisa menyatakan bahwa jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x-k), maka sisanya adalah f(k). Dalam kasus ini, suku banyak f(x) = 8x^3 + 9x^2 - 9x + 4 dibagi dengan (3x-p). Kita dapat menuliskan pembaginya sebagai 3(x - p/3). Maka, kita dapat menggunakan teorema sisa dengan mengganti x dengan p/3.

f(p/3) = 8(p/3)^3 + 9(p/3)^2 - 9(p/3) + 4

Menurut soal, sisa pembagian adalah 3p^2 + 2. Maka, kita dapat menyamakan kedua ekspresi tersebut:

8(p^3/27) + 9(p^2/9) - 9(p/3) + 4 = 3p^2 + 2

8p^3/27 + p^2 - 3p + 4 = 3p^2 + 2

Selanjutnya, kita pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan polinomial:

8p^3/27 + p^2 - 3p^2 - 3p + 4 - 2 = 0

8p^3/27 - 2p^2 - 3p + 2 = 0

Untuk menghilangkan penyebut, kita kalikan seluruh persamaan dengan 27:

8p^3 - 54p^2 - 81p + 54 = 0

Ini adalah persamaan kubik. Untuk mencari jumlah nilai-nilai p, kita dapat menggunakan sifat Vieta. Untuk persamaan polinomial berbentuk ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, jumlah akar-akarnya adalah -b/a.

Dalam persamaan 8p^3 - 54p^2 - 81p + 54 = 0, kita memiliki:
a = 8
b = -54
c = -81
d = 54

Jumlah nilai-nilai p adalah -b/a = -(-54)/8 = 54/8 = 27/4.

Jawaban Ringkas: 27/4