Pada segitiga ABC diketahui a+b=10, sudut A=30, dan sudut

Panjang sisi b adalah $20 - 10\sqrt{2}$.

Pembahasan

Kita diberikan sebuah segitiga ABC dengan:
Sudut A = 30°
Sudut B = 45°
Jumlah sisi a + b = 10

Kita perlu mencari panjang sisi b.

Pertama, kita cari sudut C:
Sudut C = 180° - Sudut A - Sudut B
Sudut C = 180° - 30° - 45°
Sudut C = 105°

Selanjutnya, kita gunakan Aturan Sinus:
$rac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Dari aturan sinus, kita punya:
$rac{a}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$

Kita tahu bahwa $\sin 30° = \frac{1}{2}$ dan $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Jadi,
$rac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{2}/2}$
$2a = \frac{2b}{\sqrt{2}}$
$a = \frac{b}{\sqrt{2}}$
$a\sqrt{2} = b$

Kita juga diberikan informasi bahwa $a + b = 10$.
Sekarang kita substitusikan nilai $a$ dari persamaan Aturan Sinus ke dalam persamaan jumlah sisi:
$(\frac{b}{\sqrt{2}}) + b = 10$

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa mengeluarkan $b$ sebagai faktor:
$b(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1) = 10$
$b(\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = 10$

Sekarang, kita isolasi $b$:
$b = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$
$b = \frac{10\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$

Untuk merasionalkan penyebutnya, kita kalikan dengan konjugatnya, yaitu $(1 - \sqrt{2})$:
$b = \frac{10\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \times \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$
$b = \frac{10\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{(1)^2 - (\sqrt{2})^2}$
$b = rac{10\sqrt{2} - 10(\sqrt{2})^2}{1 - 2}$
$b = rac{10\sqrt{2} - 10(2)}{-1}$
$b = rac{10\sqrt{2} - 20}{-1}$
$b = -(10\sqrt{2} - 20)$
$b = 20 - 10\sqrt{2}$

Jadi, panjang sisi b adalah $20 - 10\sqrt{2}$.