Pada segitiga ABC, diketahui besar sudut A=30 , besar sudut

Panjang sisi AB adalah $5\sqrt{3}$ cm.

Pembahasan

Pada segitiga ABC, diketahui besar sudut A = 30 derajat, besar sudut C = 60 derajat, dan panjang AC + BC = 15 cm. Kita perlu mencari panjang sisi AB.

Pertama, kita dapat menemukan besar sudut B dalam segitiga ABC. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat.
Sudut B = 180 - Sudut A - Sudut C
Sudut B = 180 - 30 - 60
Sudut B = 180 - 90
Sudut B = 90 derajat

Karena Sudut B = 90 derajat, segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B.

Dalam segitiga siku-siku, kita dapat menggunakan aturan sinus untuk mencari panjang sisi-sisi.
Aturan Sinus menyatakan:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Di sini, sisi a adalah sisi di depan sudut A (yaitu BC), sisi b adalah sisi di depan sudut B (yaitu AC), dan sisi c adalah sisi di depan sudut C (yaitu AB).

Jadi, kita punya:
$\frac{BC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 90^{\circ}} = \frac{AB}{\sin 60^{\circ}}$

Kita tahu nilai sinus:
$\\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\\sin 90^{\circ} = 1$
$\\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam aturan sinus:
$\frac{BC}{1/2} = \frac{AC}{1} = \frac{AB}{\sqrt{3}/2}$

Ini memberikan kita dua persamaan:
1) $2 BC = AC$
2) $AC = \frac{2 AB}{\sqrt{3}}$ atau $AB = \frac{\sqrt{3}}{2} AC$

Dari persamaan 1, kita dapat menyatakan BC dalam bentuk AC: $BC = \frac{1}{2} AC$.

Kita juga diberikan informasi bahwa $AC + BC = 15$ cm.
Substitusikan $BC = \frac{1}{2} AC$ ke dalam persamaan ini:
$AC + \frac{1}{2} AC = 15$
$(\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) AC = 15$
$\frac{3}{2} AC = 15$
$AC = 15 \times \frac{2}{3}$
$AC = 5 \times 2$
$AC = 10$ cm.

Sekarang kita dapat mencari panjang BC:
$BC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (10) = 5$ cm.

Periksa kembali $AC + BC = 10 + 5 = 15$ cm, yang sesuai dengan informasi soal.

Terakhir, kita cari panjang sisi AB menggunakan salah satu hubungan dari aturan sinus. Kita gunakan hubungan antara AC dan AB:
$AB = \frac{\sqrt{3}}{2} AC$
$AB = \frac{\sqrt{3}}{2} (10)$
$AB = 5\sqrt{3}$ cm.

Alternatif lain, karena ini segitiga siku-siku di B, kita bisa menggunakan perbandingan sisi pada segitiga siku-siku 30-60-90.
Sisi di depan sudut 30 (BC) : Sisi di depan sudut 60 (AB) : Sisi di depan sudut 90 (AC) = $1 : \sqrt{3} : 2$.

Kita tahu AC = 10 cm. Berdasarkan perbandingan, AC sesuai dengan 2 bagian.
$2 	ext{ bagian} = 10 	ext{ cm} 
ightarrow 1 	ext{ bagian} = 5 	ext{ cm}$.

Maka,
$BC = 1 	ext{ bagian} = 5 	ext{ cm}$.
$AB = \sqrt{3} 	ext{ bagian} = 5\sqrt{3} 	ext{ cm}$.

$AC + BC = 10 + 5 = 15$ cm, sesuai.

Jadi, panjang sisi AB adalah $5\sqrt{3}$ cm.