Pada segitiga ABC, panjang a+b+c=100 cm. Jika sudut B=30

Panjang sisi c adalah $(200\sqrt{3} - 300)$ cm.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan aturan sinus pada segitiga.
Diketahui:
Keliling segitiga (a + b + c) = 100 cm
Sudut B = 30°
Sudut C = 120°

Langkah 1: Cari besar sudut A.
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°. Jadi, A + B + C = 180°.
A + 30° + 120° = 180°
A + 150° = 180°
A = 180° - 150°
A = 30°

Langkah 2: Perhatikan hubungan antara sudut-sudut.
Karena sudut A = 30° dan sudut B = 30°, maka segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan sisi yang berhadapan dengan sudut yang sama memiliki panjang yang sama. Sisi yang berhadapan dengan sudut A adalah a, dan sisi yang berhadapan dengan sudut B adalah b. Oleh karena itu, a = b.

Langkah 3: Gunakan aturan sinus.
Aturan sinus menyatakan bahwa perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan adalah konstan untuk semua sisi dalam segitiga:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Karena a = b, maka:
$\frac{a}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 30°} = \frac{c}{\sin 120°}$

Ini mengkonfirmasi bahwa a = b.
Sekarang kita gunakan perbandingan $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$:
$\frac{a}{\sin 30°} = \frac{c}{\sin 120°}$

Kita tahu bahwa $\sin 30° = \frac{1}{2}$ dan $\sin 120° = \sin (180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Maka:
$\frac{a}{1/2} = \frac{c}{\sqrt{3}/2}$
$2a = \frac{2c}{\sqrt{3}}$
$a = \frac{c}{\sqrt{3}}$
$c = a \sqrt{3}$

Karena a = b, kita juga punya $c = b \sqrt{3}$.

Langkah 4: Gunakan informasi keliling.
Kita tahu a + b + c = 100 cm.
Karena a = b, kita bisa menulis:
a + a + c = 100
2a + c = 100

Substitusikan c = a√3 ke dalam persamaan ini:
2a + a√3 = 100
a(2 + √3) = 100
a = \frac{100}{2 + \sqrt{3}}$

Untuk mencari panjang sisi c, kita gunakan c = a√3:
c = $\left( \frac{100}{2 + \sqrt{3}} \right) \times \sqrt{3}$
c = $\frac{100\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan konjugatnya (2 - √3):
c = $\frac{100\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$
c = $\frac{100\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
c = $\frac{100\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3}$
c = $\frac{100\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{1}$
c = $200\sqrt{3} - 100 \times 3$
c = $200\sqrt{3} - 300$

Jadi, panjang sisi c adalah $(200\sqrt{3} - 300)$ cm.
Jika kita hitung nilai desimalnya (dengan √3 ≈ 1.732):
c ≈ $200(1.732) - 300$
c ≈ $346.4 - 300$
c ≈ $46.4$ cm