Pada segitiga PQR, S adalah titik tengah QR dan T adalah

Vektor PT = 1/3 u + 1/3 v.

Pembahasan

Dalam segitiga PQR, diketahui S adalah titik tengah QR dan T adalah titik berat segitiga tersebut. Titik berat (centroid) sebuah segitiga adalah perpotongan dari ketiga garis beratnya. Garis berat adalah garis yang ditarik dari setiap sudut segitiga ke titik tengah sisi di depannya.

Misalkan titik berat T membagi garis berat dari P ke S dalam perbandingan 2:1, sehingga PT : TS = 2 : 1. Ini berarti vektor PT adalah 2/3 dari vektor PS.

Dalam notasi vektor:
$\\vec{PT} = \frac{2}{3} \vec{PS}$

Karena S adalah titik tengah QR, maka vektor PS dapat dinyatakan sebagai jumlah dari vektor PQ dan setengah dari vektor PR (atau setengah dari vektor QR yang sama dengan SR). Namun, lebih mudah jika kita menggunakan vektor yang diberikan:

$\\vec{PS} = \vec{PQ} + \vec{QS}$

Karena S adalah titik tengah QR, maka $\\vec{QS} = \frac{1}{2} \vec{QR}$.

Namun, kita diberi vektor $\\vec{u} = \vec{PQ}$ dan $\\vec{v} = \vec{PR}$.

Kita dapat menyatakan $\\vec{QR}$ dalam bentuk $\\vec{u}$ dan $\\vec{v}$.
$\\vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ} = \vec{v} - \vec{u}$

Maka, $\\vec{QS} = \frac{1}{2} \vec{QR} = \frac{1}{2} (\vec{v} - \vec{u})$

Sekarang kita substitusikan kembali ke rumus $\\vec{PS}$:
$\\vec{PS} = \vec{PQ} + \vec{QS} = \vec{u} + \frac{1}{2} (\vec{v} - \vec{u})$
$\\vec{PS} = \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{v} - \frac{1}{2} \vec{u}$
$\\vec{PS} = \frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{v}$

Terakhir, kita cari $\\vec{PT}$:
$\\vec{PT} = \frac{2}{3} \vec{PS} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{v})$
$\\vec{PT} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \vec{u} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \vec{v}$
$\\vec{PT} = \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{v}$

Jadi, ruas garis berarah vektor PT dapat dinyatakan dalam vektor u dan vektor v sebagai $\\frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{v}$.