Kelas 12Kelas 11mathAljabarMatematika Bisnis
Pada tanah seluas 10.000 m^2 akan dibangurl perumahan
Pertanyaan
Pada tanah seluas 10.000 m^2 akan dibangun perumahan dengan dua tipe, yaitu tipe A dengan luas 100 m^2 dan tipe B dengan luas 75 m^2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 125 unit. Laba tiap-tiap tipe A adalah Rp. 800.000,00 dan tipe B adalah Rp. 600.000,00. Tentukan laba maksimum yang mungkin diperoleh.
Solusi
Verified
Laba maksimum yang mungkin diperoleh adalah Rp 80.000.000,00, dengan membangun 100 rumah tipe A saja, atau 25 rumah tipe A dan 100 rumah tipe B.
Pembahasan
Ini adalah soal program linear yang bertujuan untuk memaksimalkan laba dengan mempertimbangkan batasan luas tanah dan jumlah unit rumah. **1. Definisikan Variabel:** * Misalkan `x` adalah jumlah rumah tipe A. * Misalkan `y` adalah jumlah rumah tipe B. **2. Rumuskan Fungsi Objektif (Laba Maksimum):** Laba dari tipe A = Rp 800.000 per unit. Laba dari tipe B = Rp 600.000 per unit. Fungsi Laba (Z) = 800.000x + 600.000y Kita ingin memaksimalkan Z. **3. Rumuskan Kendala (Batasan):** * **Kendala Luas Tanah:** Luas tipe A = 100 m^2. Luas tipe B = 75 m^2. Total luas tanah = 10.000 m^2. Kendala: 100x + 75y ≤ 10.000 Sederhanakan kendala dengan membagi 25: 4x + 3y ≤ 400 * **Kendala Jumlah Unit Rumah:** Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 125 unit. Kendala: x + y ≤ 125 * **Kendala Non-Negatif:** Jumlah rumah tidak boleh negatif. Kendala: x ≥ 0 Kendala: y ≥ 0 **4. Tentukan Titik-titik Pojok (Vertex) dari Daerah Feasible:** Daerah feasible dibatasi oleh garis-garis: 1. 4x + 3y = 400 2. x + y = 125 3. x = 0 4. y = 0 Mari kita cari titik potongnya: * **Titik Potong (0,0):** (x=0, y=0) * Cek kendala: 4(0)+3(0)≤400 (Benar), 0+0≤125 (Benar). * **Titik Potong Sumbu x (y=0) dari 4x + 3y = 400:** 4x + 3(0) = 400 -> 4x = 400 -> x = 100. Titik: (100, 0) * Cek kendala: 100+0≤125 (Benar). * **Titik Potong Sumbu y (x=0) dari x + y = 125:** 0 + y = 125 -> y = 125. Titik: (0, 125) * Cek kendala: 4(0)+3(125)≤400 -> 375≤400 (Benar). * **Titik Potong antara 4x + 3y = 400 dan x + y = 125:** Dari x + y = 125, kita dapatkan y = 125 - x. Substitusikan ke persamaan pertama: 4x + 3(125 - x) = 400 4x + 375 - 3x = 400 x + 375 = 400 x = 400 - 375 x = 25. Sekarang cari y: y = 125 - x = 125 - 25 = 100. Titik: (25, 100) * Cek kendala: kedua kendala utama sudah digunakan untuk mencari titik ini, dan kedua nilai x, y positif. * **Titik Potong Sumbu y (x=0) dari 4x + 3y = 400:** 4(0) + 3y = 400 -> 3y = 400 -> y = 400/3 ≈ 133.33. Titik: (0, 400/3) * Cek kendala: 0 + 400/3 ≤ 125 -> 133.33 ≤ 125 (Salah). Jadi titik ini tidak termasuk dalam daerah feasible. * **Titik Potong Sumbu x (y=0) dari x + y = 125:** x + 0 = 125 -> x = 125. Titik: (125, 0) * Cek kendala: 4(125) + 3(0) ≤ 400 -> 500 ≤ 400 (Salah). Jadi titik ini tidak termasuk dalam daerah feasible. Jadi, titik-titik pojok daerah feasible adalah: * (0, 0) * (100, 0) * (0, 125) * (25, 100) **5. Evaluasi Fungsi Objektif di Setiap Titik Pojok:** * Di (0, 0): Z = 800.000(0) + 600.000(0) = 0 * Di (100, 0): Z = 800.000(100) + 600.000(0) = 80.000.000 * Di (0, 125): Z = 800.000(0) + 600.000(125) = 75.000.000 * Di (25, 100): Z = 800.000(25) + 600.000(100) = 20.000.000 + 60.000.000 = 80.000.000 **Kesimpulan:** Berdasarkan perhitungan, laba maksimum yang mungkin diperoleh adalah Rp 80.000.000,00. Nilai maksimum ini dicapai pada dua titik pojok: (100, 0) yang berarti membangun 100 rumah tipe A dan 0 rumah tipe B, ATAU pada titik (25, 100) yang berarti membangun 25 rumah tipe A dan 100 rumah tipe B. Kedua kombinasi ini memberikan laba maksimum yang sama.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Program Linear
Section: Optimasi Dengan Program Linear
Apakah jawaban ini membantu?