Gunakan determinan untuk menunjukkan bahwa untuk semua

Determinan matriks koefisien adalah $\lambda^2 + 1$. Karena $\lambda^2 + 1 \neq 0$ untuk semua $\lambda$ real, maka satu-satunya penyelesaian adalah $x=0, y=0$.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa satu-satunya penyelesaian untuk sistem persamaan linear homogen $x - 2y = \lambda x$ dan $x - y = \lambda y$ adalah $x = 0$ dan $y = 0$ menggunakan determinan, kita perlu menata ulang persamaan tersebut ke dalam bentuk matriks.

Langkah 1: Susun ulang persamaan.
Persamaan pertama: $x - 2y = \lambda x 
\Rightarrow x - \lambda x - 2y = 0 
\Rightarrow (1 - \lambda)x - 2y = 0$

Persamaan kedua: $x - y = \lambda y 
\Rightarrow x - y - \lambda y = 0 
\Rightarrow x - (1 + \lambda)y = 0$

Langkah 2: Tulis dalam bentuk matriks $AX = 0$.
$$ \begin{bmatrix} (1-\lambda) & -2 \\ 1 & -(1+\lambda) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 

Langkah 3: Gunakan determinan.
Agar sistem ini memiliki penyelesaian non-trivial (selain $x=0, y=0$), determinan dari matriks koefisien harus sama dengan nol. Namun, soal meminta untuk menunjukkan bahwa satu-satunya penyelesaian adalah solusi trivial ($x=0, y=0$). Ini berarti determinan matriks koefisien TIDAK BOLEH nol untuk sembarang nilai $\lambda$ jika kita mencari solusi non-trivial, atau jika kita diberi nilai $\lambda$ tertentu, kita harus memeriksa determinannya.

Mari kita hitung determinan matriks koefisien:
$D = \det \begin{bmatrix} (1-\lambda) & -2 \\ 1 & -(1+\lambda) \end{bmatrix}$
$D = (1-\lambda)(-(1+\lambda)) - (-2)(1)$
$D = -(1-\lambda)(1+\lambda) + 2$
$D = -(1 - \lambda^2) + 2$
$D = -1 + \lambda^2 + 2$
$D = \lambda^2 + 1$

Langkah 4: Analisis determinan.
Kita perlu menunjukkan bahwa satu-satunya penyelesaian adalah $x=0$ dan $y=0$. Sistem persamaan linear homogen $AX = 0$ selalu memiliki solusi trivial $X=0$ (yaitu, $x=0$ dan $y=0$). Sistem ini memiliki solusi non-trivial jika dan hanya jika $\det(A) = 0$.

Dalam kasus ini, determinannya adalah $D = \lambda^2 + 1$.
Karena $\lambda$ adalah nilai real, $\lambda^2 \ge 0$. Oleh karena itu, $\lambda^2 + 1 \ge 1$. Ini berarti determinan $D = \lambda^2 + 1$ tidak akan pernah sama dengan nol untuk semua nilai real $\lambda$.

Karena determinan matriks koefisien tidak pernah nol untuk semua nilai real $\lambda$, maka sistem persamaan linear homogen ini hanya memiliki satu solusi, yaitu solusi trivial $x = 0$ dan $y = 0$.

Kesimpulan: Dengan menghitung determinan matriks koefisien sistem persamaan tersebut, kita mendapatkan $\lambda^2 + 1$. Karena $\lambda^2 + 1 \neq 0$ untuk semua nilai real $\lambda$, maka satu-satunya penyelesaian yang mungkin adalah $x = 0$ dan $y = 0$.