Tentukan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

Penyelesaiannya adalah daerah yang terletak di atas atau pada parabola y = x^2 + 5x + 4 dan di bawah atau pada garis 2x + 3y = 12.

Pembahasan

Untuk menentukan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan y >= x^2 + 5x + 4 dan 2x + 3y <= 12, kita perlu mencari daerah di bidang Kartesius yang memenuhi kedua kondisi tersebut secara bersamaan. Ini melibatkan analisis grafik dari parabola y = x^2 + 5x + 4 dan garis 2x + 3y = 12.

1.  **Analisis Pertidaksamaan Pertama: y >= x^2 + 5x + 4**
    Ini adalah daerah di atas atau pada parabola y = x^2 + 5x + 4. Parabola ini terbuka ke atas. Kita bisa mencari titik potong sumbu x dengan mengatur y=0: x^2 + 5x + 4 = 0 => (x+1)(x+4)=0, jadi titik potongnya adalah x=-1 dan x=-4. Titik puncak parabola dapat ditemukan dengan x_puncak = -b/(2a) = -5/(2*1) = -2.5. Nilai y_puncak = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25. Jadi, titik puncaknya adalah (-2.5, -2.25).

2.  **Analisis Pertidaksamaan Kedua: 2x + 3y <= 12**
    Ini adalah daerah di bawah atau pada garis 2x + 3y = 12. Untuk menggambarkannya, kita cari titik potong sumbu x (y=0) dan sumbu y (x=0).
    Jika y = 0, maka 2x = 12 => x = 6. Titik potong sumbu x adalah (6, 0).
    Jika x = 0, maka 3y = 12 => y = 4. Titik potong sumbu y adalah (0, 4).
    Kita juga perlu mencari titik potong antara parabola y = x^2 + 5x + 4 dan garis 2x + 3y = 12.
    Substitusikan y dari persamaan parabola ke persamaan garis:
    2x + 3(x^2 + 5x + 4) = 12
    2x + 3x^2 + 15x + 12 = 12
    3x^2 + 17x = 0
    x(3x + 17) = 0
    Jadi, x = 0 atau 3x = -17 => x = -17/3.

    Jika x = 0, maka y = 0^2 + 5(0) + 4 = 4. Titik potong adalah (0, 4).
    Jika x = -17/3, maka y = (-17/3)^2 + 5(-17/3) + 4 = 289/9 - 85/3 + 4 = 289/9 - 255/9 + 36/9 = (289 - 255 + 36)/9 = 70/9. Titik potong adalah (-17/3, 70/9).

    Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ini adalah daerah yang memenuhi kedua kondisi. Secara grafis, ini adalah daerah yang terletak di atas atau pada parabola dan di bawah atau pada garis. Tanpa kemampuan untuk menggambar grafik secara interaktif, deskripsi ini memberikan dasar untuk menemukan daerah penyelesaiannya.