Pak Amir membuat sumur dengan ketentuan biaya penggalian

Dengan menggunakan rumus jumlah barisan aritmetika, kedalaman sumur adalah 20 meter.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan barisan aritmetika karena ada penambahan biaya yang konstan untuk setiap meter penggalian berikutnya. Biaya penggalian per meter membentuk barisan aritmetika:
- Meter ke-1: Rp 30.000
- Meter ke-2: Rp 30.000 + Rp 5.000 = Rp 35.000
- Meter ke-3: Rp 35.000 + Rp 5.000 = Rp 40.000
Dan seterusnya.

Ini adalah barisan aritmetika dengan:
- Suku pertama (a) = 30.000
- Beda (d) = 5.000

Total biaya penggalian adalah Rp 1.550.000. Kita perlu mencari jumlah suku (n), yang mewakili kedalaman sumur dalam meter.

Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika adalah:
Sn = n/2 * [2a + (n-1)d]

Kita punya Sn = 1.550.000, a = 30.000, dan d = 5.000. Mari kita masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
1.550.000 = n/2 * [2 * 30.000 + (n-1) * 5.000]
1.550.000 = n/2 * [60.000 + 5.000n - 5.000]
1.550.000 = n/2 * [55.000 + 5.000n]

Kalikan kedua sisi dengan 2:
3.100.000 = n * (55.000 + 5.000n)
3.100.000 = 55.000n + 5.000n²

Bagi seluruh persamaan dengan 5.000 untuk menyederhanakannya:
3.100.000 / 5.000 = (55.000n / 5.000) + (5.000n² / 5.000)
620 = 11n + n²

Susun ulang menjadi persamaan kuadrat:
n² + 11n - 620 = 0

Kita perlu mencari nilai n (kedalaman sumur) yang memenuhi persamaan kuadrat ini. Kita bisa menggunakan faktorisasi atau rumus kuadrat. Mari kita coba faktorisasi. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -620 dan jika dijumlahkan menghasilkan 11.

Setelah mencoba beberapa faktor, kita menemukan bahwa 20 dan -31 tidak cocok (hasilnya -11). Mari kita coba lagi. Faktornya adalah 20 dan 31. Kita perlu +11, jadi kita perlu +31 dan -20.
(n + 31)(n - 20) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk n:
n + 31 = 0  => n = -31
n - 20 = 0  => n = 20

Karena kedalaman sumur tidak mungkin negatif, maka nilai yang valid adalah n = 20.

Jadi, kedalaman sumur itu adalah 20 meter.