Pak Gara mempunyai pabrik sepatu kulit. Pabrik tersebut

Rp 120.000

Pembahasan

Ini adalah masalah program linear yang bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan Pak Gara dari penjualan dua model sepatu kulit.

Mari kita definisikan variabel:
- Misalkan x = jumlah sepatu model I yang diproduksi.
- Misalkan y = jumlah sepatu model II yang diproduksi.

Batasan dari sumber daya (kulit asli dan kain pelapis):
1. Kulit asli: 20x + 30y ≥ 60 (disederhanakan menjadi 2x + 3y ≥ 6)
2. Kain pelapis: 40x + 20y ≥ 80 (disederhanakan menjadi 2x + y ≥ 4)

Fungsi tujuan (keuntungan yang dimaksimalkan):
Keuntungan = 25.000x + 30.000y

Kita juga memiliki batasan non-negatif:
x ≥ 0
y ≥ 0

Untuk menemukan keuntungan maksimal, kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah yang memenuhi semua batasan, lalu substitusikan titik-titik tersebut ke dalam fungsi tujuan.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Tentukan titik potong dari setiap batasan:
   - Batasan 1 (2x + 3y = 6):
     Jika x=0, 3y=6, y=2. Titik (0, 2)
     Jika y=0, 2x=6, x=3. Titik (3, 0)
   - Batasan 2 (2x + y = 4):
     Jika x=0, y=4. Titik (0, 4)
     Jika y=0, 2x=4, x=2. Titik (2, 0)
   - Titik potong antara 2x + 3y = 6 dan 2x + y = 4:
     Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
     (2x + 3y) - (2x + y) = 6 - 4
     2y = 2
     y = 1
     Substitusikan y=1 ke 2x + y = 4:
     2x + 1 = 4
     2x = 3
     x = 1.5
     Titik potong adalah (1.5, 1)

2. Titik-titik sudut yang relevan (dengan mempertimbangkan x ≥ 0 dan y ≥ 0) adalah:
   - (2, 0)
   - (0, 2)
   - (1.5, 1)
   - (0, 4) (Ini adalah titik potong sumbu y dari batasan 2x+y>=4, tapi kita harus cek apakah memenuhi batasan lain. Jika x=0, 3y>=6 -> y>=2. Jadi (0,4) adalah titik sudut yang valid)
   - (3,0) (Ini adalah titik potong sumbu x dari batasan 2x+3y>=6, tapi kita harus cek apakah memenuhi batasan lain. Jika y=0, 2x>=4 -> x>=2. Jadi (3,0) adalah titik sudut yang valid)

   Mari kita identifikasi titik sudut yang membentuk daerah layak:
   - Titik A: Perpotongan 2x+y=4 dan sumbu x. Jika y=0, 2x=4, x=2. Titik (2,0).
   - Titik B: Perpotongan 2x+3y=6 dan 2x+y=4. Titik (1.5, 1).
   - Titik C: Perpotongan 2x+3y=6 dan sumbu y. Jika x=0, 3y=6, y=2. Titik (0,2).
   - Titik D: Perpotongan 2x+y=4 dan sumbu y. Jika x=0, y=4. Titik (0,4).

   Daerah layak dibatasi oleh garis 2x+3y=6, 2x+y=4, sumbu x (y=0), dan sumbu y (x=0). Titik sudutnya adalah:
   - (2,0) (memenuhi 2(2)+3(0)=4>=6 salah, jadi titik ini tidak termasuk daerah layak. Yang termasuk adalah titik di atas garis.)
   - Titik potong 2x+y=4 dengan sumbu x adalah (2,0). Titik ini harus memenuhi 2x+3y>=6. 2(2)+3(0)=4 tidak memenuhi.
   - Titik potong 2x+3y=6 dengan sumbu x adalah (3,0). Titik ini harus memenuhi 2x+y>=4. 2(3)+0=6 memenuhi. Jadi (3,0) adalah titik sudut.
   - Titik potong 2x+3y=6 dengan sumbu y adalah (0,2). Titik ini harus memenuhi 2x+y>=4. 2(0)+2=2 tidak memenuhi.
   - Titik potong 2x+y=4 dengan sumbu y adalah (0,4). Titik ini harus memenuhi 2x+3y>=6. 2(0)+3(4)=12 memenuhi. Jadi (0,4) adalah titik sudut.
   - Titik potong antara 2x+3y=6 dan 2x+y=4 adalah (1.5, 1). Titik ini memenuhi x>=0 dan y>=0. Jadi (1.5, 1) adalah titik sudut.

   Titik sudut daerah layak adalah: (3,0), (1.5, 1), (0,4).

3. Substitusikan titik-titik sudut ke dalam fungsi tujuan (Keuntungan = 25.000x + 30.000y):
   - Di titik (3, 0):
     Keuntungan = 25.000(3) + 30.000(0) = 75.000
   - Di titik (1.5, 1):
     Keuntungan = 25.000(1.5) + 30.000(1) = 37.500 + 30.000 = 67.500
   - Di titik (0, 4):
     Keuntungan = 25.000(0) + 30.000(4) = 120.000

Keuntungan maksimal diperoleh ketika Pak Gara memproduksi 0 sepatu model I dan 4 sepatu model II, dengan keuntungan sebesar Rp 120.000.