Sebuah mobil melaju pada sebuah lintasan dengan persamaan

Waktu: 20/11 detik, Jarak: 60/11 meter

Pembahasan

Untuk menentukan waktu dan jarak saat mobil dan motor berpapasan, kita perlu menyamakan persamaan jarak tempuh keduanya.

Persamaan jarak mobil: $s_{mobil}(t) = |8t - 20|$
Persamaan jarak motor: $s_{motor}(t) = |3t| = 3t$ (karena waktu $t$ selalu positif, $|3t| = 3t$)

Agar berpapasan, jarak tempuh keduanya harus sama: $s_{mobil}(t) = s_{motor}(t)$.
$|8t - 20| = 3t$

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak ini, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: $8t - 20 = 3t$
$8t - 3t = 20$
$5t = 20$
$t = 4$ detik.

Pada $t = 4$, nilai $8t - 20 = 8(4) - 20 = 32 - 20 = 12$. Karena $12 
less 0$, maka $|8t - 20| = 8t - 20$. Jadi, $t=4$ adalah solusi yang valid.

Kasus 2: $8t - 20 = -3t$
$8t + 3t = 20$
$11t = 20$
$t = \frac{20}{11}$ detik.

Pada $t = \frac{20}{11}$, nilai $8t - 20 = 8(\frac{20}{11}) - 20 = \frac{160}{11} - \frac{220}{11} = -\frac{60}{11}$. Karena $-\frac{60}{11} < 0$, maka $|8t - 20| = -(8t - 20) = 20 - 8t$. Jadi, persamaan $20 - 8t = 3t$ yang mengarah pada $t = \frac{20}{11}$ adalah valid.

Sekarang kita perlu menentukan kapan mereka berpapasan. Berpapasan berarti mereka berada di posisi yang sama pada waktu yang sama. Kita perlu mencari nilai $t$ yang memenuhi persamaan $|8t - 20| = 3t$. Kita sudah menemukan dua nilai $t$, yaitu $t=4$ dan $t=\frac{20}{11}$.

Perhatikan bahwa mobil mulai melaju dengan persamaan $s(t)=|8t-20|$. Pada $t=0$, $s(0)=|-20|=20$. Ini berarti mobil sudah berada pada jarak 20 meter dari start pada saat $t=0$. Sedangkan motor mulai dari start pada $t=0$, $s(0)=|3(0)|=0$.

Saat $t = \frac{20}{11}$ detik:
Jarak motor: $s_{motor}(\frac{20}{11}) = 3 \times \frac{20}{11} = \frac{60}{11}$ meter.
Jarak mobil: $s_{mobil}(\frac{20}{11}) = |8(\frac{20}{11}) - 20| = |\frac{160}{11} - \frac{220}{11}| = |-\frac{60}{11}| = \frac{60}{11}$ meter.

Saat $t = 4$ detik:
Jarak motor: $s_{motor}(4) = 3 \times 4 = 12$ meter.
Jarak mobil: $s_{mobil}(4) = |8(4) - 20| = |32 - 20| = |12| = 12$ meter.

Karena mobil mulai dari jarak 20m pada t=0 dan motor dari 0m, maka momen pertama kali mereka berpapasan adalah saat motor menyusul mobil. Ini terjadi ketika $8t-20$ bernilai negatif (mobil masih bergerak mundur relatif terhadap titik 20mnya) atau ketika motor menyusul mobil dari belakang. 

Pada $t=\frac{20}{11}$, kedua kendaraan berada pada jarak $\frac{60}{11}$ meter dari start, dan ini adalah waktu pertama kali mereka berpapasan karena motor mulai dari 0 dan mobil sudah di 20m. Mobil baru bergerak ke arah yang sama dengan motor setelah $t = \frac{20}{8} = 2.5$ detik.

Untuk $t < 2.5$, mobil bergerak ke arah awal, sedangkan motor bergerak menjauh dari start. Pada $t=\frac{20}{11} \approx 1.82$ detik, motor yang bergerak menjauh dari start berpapasan dengan mobil yang juga bergerak menjauh dari start (tetapi dari posisi 20m).

Untuk $t > 2.5$, mobil bergerak menjauh dari start, sama seperti motor. Pada $t=4$ detik, keduanya berada di jarak 12 meter dari start. Namun, ini tidak mungkin terjadi jika mereka mulai dari posisi yang berbeda dan bergerak pada kecepatan yang berbeda, kecuali mobil berbalik arah. 

Mari kita analisis pergerakan mobil: $s(t)=|8t-20|$.
Untuk $t < 2.5$, $s(t) = 20-8t$. Mobil bergerak mundur dari posisi 20m.
Untuk $t 
less 2.5$, $s(t) = 8t-20$. Mobil bergerak maju dari posisi 20m.

Pergerakan motor: $s(t) = 3t$. Motor bergerak maju dari posisi 0m.

Berpapasan berarti posisi sama.

1. Motor menyusul mobil saat mobil bergerak mundur: $3t = 20 - 8t 
ightarrow 11t = 20 
ightarrow t = \frac{20}{11}$ detik. Jarak = $3 \times \frac{20}{11} = \frac{60}{11}$ meter.
2. Motor bertemu mobil saat mobil bergerak maju: $3t = 8t - 20 
ightarrow 5t = 20 
ightarrow t = 4$ detik. Jarak = $3 \times 4 = 12$ meter.

Mengingat mobil mulai pada s=20m pada t=0, dan motor mulai pada s=0m pada t=0, momen pertama mereka berpapasan adalah ketika motor yang bergerak maju berpapasan dengan mobil yang bergerak mundur (tetapi dari titik yang lebih jauh). 

Jadi, waktu yang diperlukan oleh pengendara motor agar dapat berpapasan dengan mobil adalah $\frac{20}{11}$ detik, dan jarak dari start mereka berpapasan adalah $\frac{60}{11}$ meter.