Panitia sebuah lomba mempunyai 40 buku tulis untuk hadiah

8 komposisi

Pembahasan

Ini adalah masalah kombinatorik yang berkaitan dengan partisi bilangan bulat dengan batasan.
Misalkan $x_1$, $x_2$, dan $x_3$ adalah jumlah buku tulis yang diterima oleh juara I, II, dan III.

Kita memiliki batasan:
1. $x_1 + x_2 + x_3 = 40$ (total buku tulis)
2. $x_1 \ge 10$, $x_2 \ge 10$, $x_3 \ge 10$ (setiap peserta minimal 10 buku tulis)
3. $x_1 > x_2 > x_3$ (peserta berperingkat lebih tinggi menerima lebih banyak buku).

Untuk mengatasi batasan bahwa setiap peserta minimal menerima 10 buku, kita bisa mendefinisikan variabel baru:
Misalkan $y_1 = x_1 - 10$, $y_2 = x_2 - 10$, $y_3 = x_3 - 10$.
Maka $y_1 \ge 0$, $y_2 \ge 0$, $y_3 \ge 0$.

Substitusikan ke persamaan total:
$(y_1 + 10) + (y_2 + 10) + (y_3 + 10) = 40$
$y_1 + y_2 + y_3 + 30 = 40$
$y_1 + y_2 + y_3 = 10$

Sekarang kita punya batasan baru pada $y_i$: $y_1 \ge 0$, $y_2 \ge 0$, $y_3 \ge 0$, dan yang paling penting, $x_1 > x_2 > x_3$ harus dipenuhi.
$y_1 + 10 > y_2 + 10 > y_3 + 10$
$y_1 > y_2 > y_3$

Jadi, kita perlu mencari solusi dari $y_1 + y_2 + y_3 = 10$ dengan $y_1 > y_2 > y_3 \ge 0$.

Mari kita daftar kemungkinan nilai $y_3$, mulai dari yang terkecil.

Jika $y_3 = 0$:
$y_1 + y_2 = 10$ dengan $y_1 > y_2 > 0$.
Kemungkinan pasangan $(y_1, y_2)$:
(6, 4) -> $y_1=6, y_2=4, y_3=0$. Ini valid.
(7, 3) -> $y_1=7, y_2=3, y_3=0$. Ini valid.
(8, 2) -> $y_1=8, y_2=2, y_3=0$. Ini valid.
(9, 1) -> $y_1=9, y_2=1, y_3=0$. Ini valid.
(5, 5) tidak valid karena $y_1 > y_2$.
(10, 0) tidak valid karena $y_2 > y_3$.
Jadi ada 4 solusi ketika $y_3 = 0$.

Jika $y_3 = 1$:
$y_1 + y_2 = 9$ dengan $y_1 > y_2 > 1$.
Kemungkinan pasangan $(y_1, y_2)$:
(6, 3) -> $y_1=6, y_2=3, y_3=1$. Valid.
(7, 2) -> $y_1=7, y_2=2, y_3=1$. Valid.
(5, 4) -> $y_1=5, y_2=4, y_3=1$. Valid.
(8, 1) tidak valid karena $y_2 > y_3$.
Jadi ada 3 solusi ketika $y_3 = 1$.

Jika $y_3 = 2$:
$y_1 + y_2 = 8$ dengan $y_1 > y_2 > 2$.
Kemungkinan pasangan $(y_1, y_2)$:
(5, 3) -> $y_1=5, y_2=3, y_3=2$. Valid.
(4, 4) tidak valid.
(6, 2) tidak valid.
Jadi ada 1 solusi ketika $y_3 = 2$.

Jika $y_3 = 3$:
$y_1 + y_2 = 7$ dengan $y_1 > y_2 > 3$.
Tidak ada pasangan integer $(y_1, y_2)$ yang memenuhi $y_1 > y_2 > 3$ dan jumlahnya 7. Jika $y_2=4$, maka $y_1=3$, ini melanggar $y_1>y_2$. Jika $y_2=3$, tidak memenuhi $y_2>y_3$. 
Jadi, tidak ada solusi ketika $y_3 = 3$ atau lebih.

Total jumlah komposisi hadiah yang mungkin adalah jumlah solusi dari ketiga kasus:
$4 + 3 + 1 = 8$.

Mari kita cek kembali batasan $y_1 > y_2 > y_3 
$. Dan $y_1+y_2+y_3=10$. 

Kita mencari partisi dari 10 menjadi 3 bagian berbeda, di mana setiap bagian $\ge 0$.

Solusi $(y_1, y_2, y_3)$: 

$y_3$ harus kurang dari $10/3 \approx 3.33$. Jadi $y_3$ bisa 0, 1, 2, 3.

Jika $y_3=0$: $y_1+y_2=10$, $y_1>y_2>0$. Pasangan $(y_1, y_2)$ adalah (6,4), (7,3), (8,2), (9,1). Ada 4.

Jika $y_3=1$: $y_1+y_2=9$, $y_1>y_2>1$. Pasangan $(y_1, y_2)$ adalah (6,3), (7,2), (5,4). Ada 3.

Jika $y_3=2$: $y_1+y_2=8$, $y_1>y_2>2$. Pasangan $(y_1, y_2)$ adalah (5,3). Ada 1.

Jika $y_3=3$: $y_1+y_2=7$, $y_1>y_2>3$. Tidak ada solusi integer.

Total = $4 + 3 + 1 = 8$.

Mari kita verifikasi komposisi $x_1, x_2, x_3$ dari $y_1, y_2, y_3$:

1. $y=(6,4,0) 
-> x=(16,14,10)$. $16+14+10=40$. $16>14>10$.
2. $y=(7,3,0) 
-> x=(17,13,10)$. $17+13+10=40$. $17>13>10$.
3. $y=(8,2,0) 
-> x=(18,12,10)$. $18+12+10=40$. $18>12>10$.
4. $y=(9,1,0) 
-> x=(19,11,10)$. $19+11+10=40$. $19>11>10$.
5. $y=(6,3,1) 
-> x=(16,13,11)$. $16+13+11=40$. $16>13>11$.
6. $y=(7,2,1) 
-> x=(17,12,11)$. $17+12+11=40$. $17>12>11$.
7. $y=(5,4,1) 
-> x=(15,14,11)$. $15+14+11=40$. $15>14>11$.
8. $y=(5,3,2) 
-> x=(15,13,12)$. $15+13+12=40$. $15>13>12$.

Jadi ada 8 komposisi hadiah yang mungkin.