Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a. jarak C ke bidang

a√2 / 2

Pembahasan

Untuk mencari jarak C ke bidang diagonal BH, kita perlu memproyeksikan titik C ke bidang diagonal BH. Bidang diagonal BH adalah bidang yang dibentuk oleh diagonal alas BH dan rusuk tegak BG atau CH. Kita akan menggunakan bidang diagonal BDHF.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah a.

1. **Koordinat Titik:**
   Kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius.
   Misal A = (0, 0, 0)
   B = (a, 0, 0)
   C = (a, a, 0)
   D = (0, a, 0)
   E = (0, 0, a)
   F = (a, 0, a)
   G = (a, a, a)
   H = (0, a, a)

2. **Bidang Diagonal BDHF:**
   Bidang ini dibentuk oleh titik B(a, 0, 0), D(0, a, 0), H(0, a, a), dan F(a, 0, a).
   Persamaan bidang yang melalui titik-titik ini dapat dicari.
   Sebuah vektor normal untuk bidang BDHF dapat ditemukan dengan mengambil produk silang dari dua vektor yang berada di bidang tersebut, misalnya $\vec{BD}$ dan $\vec{BF}$.
   $\vec{BD} = D - B = (0, a, 0) - (a, 0, 0) = (-a, a, 0)$
   $\vec{BF} = F - B = (a, 0, a) - (a, 0, 0) = (0, 0, a)$

   Vektor normal (n) = $\vec{BD} \times \vec{BF} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -a & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} = a^2 i - (-a^2) j + 0 k = (a^2, a^2, 0)$.
   Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (1, 1, 0).

   Persamaan bidang BDHF: $1(x - a) + 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0$
   $x - a + y = 0$
   $x + y - a = 0$

3. **Jarak Titik C ke Bidang BDHF:**
   Titik C adalah (a, a, 0).
   Rumus jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ adalah:
   $Jarak = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

   Dalam kasus ini, $(x_0, y_0, z_0) = (a, a, 0)$ dan persamaan bidangnya adalah $1x + 1y + 0z - a = 0$.
   Jadi, A = 1, B = 1, C = 0, D = -a.

   $Jarak = \frac{|1(a) + 1(a) + 0(0) - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$
   $Jarak = \frac{|a + a - a|}{\sqrt{1 + 1 + 0}}$
   $Jarak = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$
   $Jarak = \frac{a}{\sqrt{2}}$
   $Jarak = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Jadi, jarak C ke bidang diagonal BH (atau lebih tepatnya bidang diagonal BDHF) adalah $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.