Panjang rusuk kubus ABCDEFGH adalah 5 cm. Tentukan jarak

(5 * sqrt(2)) / 2 cm

Pembahasan

Kubus ABCDEFGH memiliki panjang rusuk 5 cm. Kita ingin menentukan jarak titik C ke bidang BDG. Bidang BDG adalah bidang diagonal yang memotong kubus. 

Titik C berada pada salah satu sudut kubus. Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal ruang BG. 

Untuk mencari jarak titik C ke bidang BDG, kita dapat memproyeksikan titik C ke bidang BDG. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan mengenali bahwa jarak dari titik C ke bidang BDG sama dengan jarak dari titik C ke garis BG jika kita melihatnya dari sisi yang tepat, atau kita bisa menggunakan konsep volume.

Perhatikan limas segitiga CBGD. Alasnya adalah segitiga siku-siku BCD dengan luas 1/2 * BC * CD = 1/2 * 5 * 5 = 12.5 cm^2. Tinggi limas ini adalah rusuk CG = 5 cm. Volume limas CBGD = 1/3 * Luas alas * Tinggi = 1/3 * 12.5 * 5 = 62.5/3 cm^3.

Sekarang, kita bisa melihat bidang BDG sebagai alas dari limas C-BDG. Jarak dari titik C ke bidang BDG adalah tinggi limas tersebut jika alasnya adalah segitiga BDG. Luas segitiga BDG perlu dihitung. BD adalah diagonal alas, panjangnya 5*sqrt(2). BG adalah diagonal ruang, panjangnya 5*sqrt(3).

Cara lain yang lebih efisien: Perhatikan simetri kubus. Jarak titik C ke bidang BDG sama dengan jarak titik A ke bidang BDG (karena simetri). Jarak ini adalah sepertiga dari tinggi kubus jika kita mempertimbangkan bidang yang membagi kubus secara simetris. Namun, bidang BDG tidak membagi kubus secara simetris dalam arti tersebut.

Mari gunakan pendekatan vektor atau koordinat. Misalkan B = (0,0,0), C = (5,0,0), D = (0,5,0), G = (5,5,5).
Bidang BDG melalui titik B(0,0,0), D(0,5,0), dan G(5,5,5). Vektor normal bidang BDG dapat ditemukan dengan produk silang BD dan BG.
BD = D - B = (0,5,0)
BG = G - B = (5,5,5)

Normal N = BD x BG = 
| i  j  k |
| 0  5  0 |
| 5  5  5 |

N = i(25-0) - j(0-0) + k(0-25) = 25i - 25k = (25, 0, -25). Kita bisa gunakan normal (1, 0, -1).

Persamaan bidang BDG: 1(x-0) + 0(y-0) - 1(z-0) = 0 => x - z = 0.

Sekarang kita cari jarak titik C(5,0,0) ke bidang x - z = 0.
Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Jarak = |1(5) + 0(0) - 1(0) + 0| / sqrt(1^2 + 0^2 + (-1)^2)
Jarak = |5| / sqrt(1 + 0 + 1)
Jarak = 5 / sqrt(2) = (5 * sqrt(2)) / 2 cm.